Составители:
Рубрика:
22
1) 02 =+
′
xvv ,
xdx
v
dv
2−=
,
2
ln xv −=
,
2
x
ev
−
=
.
2)
xueu
x
20
2
=+
′
−
, т.е.
2
2
x
xe
dx
du
=
,
ceu
x
+=
2
.
Итак,
(
)
22
xx
eceuvy
−
+==
.
4. Найти общее решение однородного дифференциального
уравнения 2-го порядка
065
=
+
′
−
′
′
yyy .
Решение.
Характеристическое уравнение имеет вид
065
2
=
+
−
k
k
.Его корни:
2
1
=k
;
3
2
=k
. Т.к.
1
k
и
2
k
– действительные и различные числа, то общее
решение записывается в виде:
xx
eCeCy
3
2
2
1
+=
.
5. Найти общее решение однородного дифференциального
уравнения 2-го порядка
09
=
+
′
′
yy
.
Решение.
Характеристическое уравнение имеет вид:
09
2
=
+
k
,
9
2
−=
k
, корни
ik 30
2,1
±=
– комплексно-сопряженные корни,
0
=
a
,
3
=
b
. Общее решение
имеет вид
))3sin()3cos((
21
0
xCxCy
x
e +⋅=
, отсюда
)3sin()3cos(
21
xCxCy +
=
.
6. Найти общее решение неоднородного дифференциального
уравнения 2-го порядка
).2sin( xxyy
−
=
+
′
′
Решение.
Правую часть дифференциального уравнения представим в виде суммы
двух функций
f
1
(x) + f
2
(x) = x + (-sin(2x)).
Составим и решим характеристическое уравнение:
ik01k
21
2
±==+
,
;
.
1.
Для функции f
1
(x)=ax+b число 0 не является корнем
характеристического уравнения тогда,
BAxy
1
+=
∗
.
;0;1;;0)(;)(
11
===+=
″
=
′
∗∗
BAxBAxyAy Получаем: xy
1
=
∗
.
2.
Для функции f
2
(x)
)sin()()cos()(
21
xxQxxQ
β
β
+
=
, где
2
=
β
. Число
i
β
±
не
является корнем характеристического уравнения, тогда
);2sin()2cos(
2
xDxCy +=
∗
);2cos(2)2sin(2)(
2
xDxCy +−=
′
∗
);2sin(4)2cos(4)(
2
xDxCy −−=
″
∗
);2sin()2sin()2cos()2sin(4)2cos(4 xxDxCxDxC −=
+
+
−
−
)2sin()2sin(3)2cos(3 xxDxC −=−− ;
.
3
1
;0 == BA
Получаем
)2sin(
3
1
2
xy = . Следовательно. искомое частное решение имеет
вид:
xxyyy +=+= )2sin(
3
1
21
. Общее решение неоднородного
дифференциального уравнения имеет вид:
)sin()cos()2sin(
3
1
21
xCxCxxy +++= .
dv 2
1) v ′ + 2 xv = 0 , = −2 xdx , ln v = − x 2 , v = e − x .
v
2 du 2
2) u ′e − x + u 0 = 2 x , т.е. = 2 xe x , u = e x + c .
2
dx
(
Итак, y = uv = e x + c e − x .
2
) 2
4. Найти общее решение однородного дифференциального
уравнения 2-го порядка y ′′ − 5 y ′ + 6 y = 0 .
Решение.
Характеристическое уравнение имеет вид k 2 − 5k + 6 = 0 .Его корни:
k1 = 2 ; k 2 = 3 . Т.к. k1 и k2 – действительные и различные числа, то общее
решение записывается в виде: y = C1e 2 x + C 2 e 3 x .
5. Найти общее решение однородного дифференциального
уравнения 2-го порядка y ′′ + 9 y = 0 .
Решение.
2
Характеристическое уравнение имеет вид: k + 9 = 0 , k = −9 , корни
2
k1, 2 = 0 ± 3i – комплексно-сопряженные корни, a = 0 , b = 3 . Общее решение
имеет вид y = e 0 x ⋅ (C1 cos(3x) + C 2 sin(3x)) , отсюда y = C1 cos(3x) + C2 sin(3x) .
6. Найти общее решение неоднородного дифференциального
уравнения 2-го порядка y ′′ + y = x − sin(2 x).
Решение.
Правую часть дифференциального уравнения представим в виде суммы
двух функций
f1(x) + f2(x) = x + (-sin(2x)).
Составим и решим характеристическое уравнение: k 2 + 1 = 0; k 1,2 = ± i .
1. Для функции f1(x)=ax+b число 0 не является корнем
характеристического уравнения тогда, y 1 = Ax + B . ∗
′ ″ ∗
( y ∗ )1 = A; ( y ∗ )1 = 0; Ax + B = x; =x.
A = 1; B = 0; Получаем: y 1
2. Для функции f2(x) = Q1 ( x) cos(βx) + Q2 ( x) sin(βx) , где β = 2 . Число ± βi не
является корнем характеристического уравнения, тогда
′
y ∗ 2 = C cos( 2 x ) + D sin( 2 x ); ( y ∗ ) 2 = −2C sin( 2 x ) + 2 D cos( 2 x );
″
( y ∗ ) 2 = −4C cos(2 x) − 4 D sin(2 x); − 4C cos( 2 x ) − 4 D sin( 2 x ) + C cos( 2 x ) + D sin( 2 x ) = − sin( 2 x );
1
− 3C cos(2 x) − 3D sin(2 x) = − sin( 2 x) ; A = 0; B = .
3
1
Получаем y 2 = sin(2 x) . Следовательно. искомое частное решение имеет
3
1
вид: y = y1 + y 2 = sin(2 x) + x . Общее решение неоднородного
3
1
дифференциального уравнения имеет вид: y = sin(2 x) + x + C1 cos( x) + C2 sin( x) .
3
22
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 20
- 21
- 22
- 23
- 24
- …
- следующая ›
- последняя »
