Методические указания, контрольные работы по дисциплине "Математика" (3 семестр) для студентов специальности 060800.65. Ребро И.В. - 24 стр.

   Решение.
                                                                                    1     1                     1
Используем I признак сравнения. Так как
                                                                                   n2 n
                                                                                        < n , а ряд
                                                                                         2
                                                                                                           ∑2     n
                                                                                                                          сходится
                                                                                                            ∞
                                                                                                                      1
(как убывающая геометрическая прогрессия), то ряд                                                          ∑ n2
                                                                                                           n =1
                                                                                                                          n
                                                                                                                              тоже
сходится.
                                                                         ∞
                                                                                    π
   3. Исследовать на сходимость ряд                                     ∑ tg 5n .
                                                                        n =1

   Решение.
                                                                                                              1
Применим предельный признак сравнения, возьмем v n = , который
                                                                                                              n
расходится,                   так      как        является                гармоническим                  рядом.               Тогда
            π
       tg
lim         5n = / по таблице эквивалентности / = π ≠ 0 ,                                    следовательно,                     ряд
n →∞        1                                     5
            n
расходится.
                                                                 ∞
                                                                        n
   4. Определить сходимость ряда                                 ∑2
                                                                 n =1
                                                                          n
                                                                               .
  Решение.
Используем                     признак            Даламбера.                         Для           этого              определим
      n           n +1
u n = n и u n +1 = n +1 .
     2            2
                                                                    1
                                                             1+
                           un +1         (n + 1)2
                                              n
                                                    n +1            n = 1 < 1,
Тогда               lim          = lim n +1       =      =                                     следовательно,                   ряд
                    n →∞    un     n → ∞   2 n       2n           2     2
сходится.
                                                                        1          1         1
   5. Определить сходимость ряда 1 + +                                                + ... + + ...
                                                                        1!         2!        n!
  Решение.
Используем                     признак            Даламбера.                         Для           этого              определим
    1               1
un =   и un +1 =           .
    n!           (n + 1)!
           u               n!             1
Тогда lim n +1 = lim             = lim        = 0 < 1 , следовательно, ряд сходится.
       n →∞ u    n → ∞ ( n + 1)!   n →∞ n + 1
              n
                                                                                         n
                                      ⎛ 2n 2 + 1 ⎞               ∞
   6. Определить сходимость ряда ∑ ⎜⎜ 2 ⎟⎟ .
                                 n =1 ⎝ 3n + 5 ⎠

  Решение.
Используем радикальный                            признак               Коши.                Для      этого           определим
                                                            1
                      n                                                               2+
      ⎛ 2n + 1 ⎞2
                                           2n + 1            2
                                                           n 2 = 2 < 1 , следовательно,
un = ⎜⎜ 2      ⎟⎟ . Тогда lim n u n = lim 2       = lim
      ⎝ 3n + 5 ⎠          n→∞         n →∞ 3n + 5   n →∞    5
                                                         3+ 2
                                                                 3
                                                           n
ряд сходится.

                                                             24