Составители:
Рубрика:
26
x
n
x
n
xn
n
x
n
x
u
u
R
nn
n
n
n
n
n
n
=
+
=
+
=
+
==
∞→∞→
+
∞→
+
∞→
1
1
lim
1
lim
1
limlim
1
1
1
.
Получаем, что этот ряд сходится при
1<x и расходится при 1>x , тогда
интервал сходимость: -1<x<1.
Рассмотрим на границах полученного интервала.
При х = -1:
...
4
1
3
1
2
1
1 −+−+−
ряд сходится по признаку Лейбница.
При х = 1:
...
1
...
3
1
2
1
1 +++++
n
ряд расходится (гармонический ряд).
Таким образом, ряд сходится при 11
<
≤
−
x
.
11. Найти область сходимости ряда
∑
∞
=
−
+
1
1
)1(
3
n
nn
n
xn
.
Решение.
Найдем радиус сходимости, применяя обратный признак Коши::
∞=====
∞→
−
∞→−∞→∞→
3
lim
3
lim
3
1
lim
1
lim
1
1
nn
n
a
R
n
n
n
n
n
n
nn
n
n
n
.
Получаем, что ряд сходится при
∞<
+1
1
x
, следовательно, 01 =+x .
Таким образом, ряд сходится в одной точке
1
−
=
x .
3. Найти область сходимости ряда ...
!
...
!3!2
32
+++++
n
xxx
x
n
Найдем радиус сходимости, применяя обратный признак Даламбера:
∞==
−
=
−
==
∞→∞→∞→
−
∞→
n
n
n
n
n
a
a
R
nnn
n
n
n
lim
)!1(
!
lim
!
1
)!1(
1
limlim
1
.
Следовательно, данный ряд сходится при любом значении х, так как
общий член этого ряда стремится к нулю.
12. Разложить в ряд Маклорена функцию
x
xf 3)( =
.
Решение.
Так как
3ln3ln
3
xx
ee
x
==
. Получаем:
);(...,
!
3ln
...
!3
3ln
!2
3ln
!1
3ln
13
3
3
2
2
∞−∞∈++++++= xx
n
xxx
n
n
x
13. Разложить в ряд Маклорена функцию
)4ln()( xxf −
=
.
Решение.
Так как
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−++=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−=−
4
1ln4ln
4
14ln)4ln(
xx
x
, то
x n +1
1 u xn x
= lim n +1 = lim n +n 1 = lim = lim = x.
R n → ∞ un n → ∞ x n → ∞ n +1 n → ∞ 1
1+
n n
Получаем, что этот ряд сходится при x < 1 и расходится при x > 1 , тогда
интервал сходимость: -1
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 24
- 25
- 26
- 27
- 28
- …
- следующая ›
- последняя »
