Методические указания, контрольные работы по дисциплине "Математика" (3 семестр) для студентов специальности 060800.65. Ребро И.В. - 27 стр.

                               2         3
                           ⎛ x⎞   ⎛ x⎞
                           ⎜− ⎟   ⎜− ⎟
                   ⎛ x⎞ ⎝ 4⎠      ⎝ 4⎠               1    1 x2 1 x3         1 xn
ln(4 − x) = ln 4 + ⎜ − ⎟ −      +      − ... = ln 4 − x − 2   −     − ... − n    − ...
                   ⎝ 4⎠      2      3                4   4 2 43 3          4 n
             x
при − 1 < − ≤ 1 ⇒ − 4 ≤ x < 4.
             4
                                                              2
   14. Разложить в ряд Маклорена функцию f ( x) =                 .
                                                             3− x
   Решение.
        2         2     2 1                     x
Так как     =         =          , заменив х на , получаем
       3− x    ⎛ x ⎞ 3 1− x                     3
              3⎜1 − ⎟
               ⎝ 3⎠           3
     2⎛                  ⎛ x⎞ ⎞
                   2         n
 2         x ⎛ x⎞                          x
    = ⎜1 + + ⎜ ⎟ + ... + ⎜ ⎟ ⎟, при − 1 < < 1 ⇒ −3 < x < 3 .
      ⎜
3− x 3⎝ 3 ⎝ 3⎠           ⎝3⎠ ⎠ ⎟           3


  Тема «Линейные преобразования. Метод наименьшего квадрата.»
   1. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы:
      ⎛ 2 −1 1 ⎞
      ⎜          ⎟
      ⎜ − 1 2 − 1⎟
      ⎜0 0 1⎟
      ⎝          ⎠
Решение.
Составим характеристическое уравнение:
2−λ     −1     1
 −1                                (    2
                                             )
       2 − λ − 1 = 0 ⇒ (1 − λ ) (2 − λ ) − 1 = 0 ⇒ 1 − λ = 0 или (2 − λ ) = 1
                                                                        2


 0       0   1− λ
Получаем собственные значения: λ1, 2 = 1, λ = 3 .
Если λ = 1 , то для определения координат собственного вектора получаем
                    ⎧ α − β + γ = 0,
                                        ⎧α = β
систему уравнений: ⎪⎨− α + β − γ = 0, ⇒ ⎨
                    ⎪     γ =0          ⎩γ = 0
                    ⎩
Таким образом, собственному значению λ = 1 соответствует семейство
векторов a1 = {C1 ; C1 ;0} = C1 (e1 + e2 ) .
Если λ = 3 , то для определения координат собственного вектора получаем
                    ⎧− α − β + γ = 0,
                                        ⎧α = − β
систему уравнений: ⎪⎨− α − β + γ = 0, ⇒ ⎨
                    ⎪     γ =0          ⎩ γ =0
                    ⎩
Таким образом, собственному значению λ = 3 соответствует семейство
векторов a2 = {C2 ;−C2 ;0} = C2 (e1 − e2 ) .
   2. Привести квадратичную форму к каноническому виду
      ортогональным преобразованием: 3 x12 + 2 x22 + x32 + 4 x1 x2 + 4 x2 x3 .



                                             27