Методические указания, контрольные работы по дисциплине "Математика" (3 семестр) для студентов специальности 060800.65. Ребро И.В. - 28 стр.

Решение.
Имеем a11 = 3, a22 = 2, a33 = 1, a12 = 2, a13 = 0, a23 = 2 . Составляем
характеристическое уравнение:
3− λ         2        0
  2      2−λ          2 = 0 ⇒ (3 − λ )(2 − λ )(1 − λ ) − 4(1 − λ ) + 4(3 − λ ) = 0
  0          2   1− λ
⇒ (3 − λ )(2 − λ )(1 − λ ) − 8(2 − λ ) = 0 ⇒ (2 − λ )((3 − λ )(1 − λ ) − 8) = 0 ⇒ (2 − λ )(λ2 − 4λ − 5) = 0
Получаем: λ1 = 2, λ2 = −1, λ3 = 5 .
Определяем собственные векторы, соответствующие найденным
характеристическим числам. Для определения координат собственных
векторов получаем три системы линейных уранений:
           1) λ1 = 2 ;          2) λ2 = −1 ;              3) λ3 = 5
                     ⎧ α + 2β = 0                     ⎧ 4α + 2 β = 0
                     ⎪                                ⎪
                     ⎨2α + 2γ = 0                     ⎨2α + 3β + 2γ = 0
                     ⎪ 2β − γ = 0                     ⎪ 2 β + 2γ = 0
                     ⎩                                ⎩
                     ⎧ − 2α + 2 β = 0
                     ⎪
                     ⎨2α − 3β + 2γ = 0
                     ⎪ 2 β − 4γ = 0
                     ⎩
Получаем: α = 2c, β = −c, γ = −2c                             α = c, β = −2c, γ = 2c
        α = 2c, β = 2c, γ = c
              a1 = c(2e1 − e2 − 2e3 )                 a2 = c(e1 − 2e2 + 2e3 )
        a3 = c(2e1 + 2e2 + e3 )
Нормируем: a1 = a2 = a3 = 2 2 + 12 + 2 2 = 9 = 3
      1
 e1′ = (2e1 − e2 − 2e3 )
      3
      1
e2′ = (e1 − 2e2 + 2e3 )
      3
      1
e3 = (2e1 + 2e2 + e3 )
      3
                                                      ⎛ 2       1    2 ⎞
                                                      ⎜ 3         3    3⎟
Матрица ортогонального преобразования имеет вид: B = − 3 − 3 3 ⎟
                                                      ⎜   1      2   2
                                                      ⎜                 ⎟
                                                      ⎜− 2     2     1 ⎟
                                                      ⎝ 3         3    3⎠
                                                  2     1     2
                                             x1 = x1′ + x′2 + x3′
                                                  3     3     3
                                                   1     2     2
Формулы преобразования координат имеют вид: x2 = − x1′ − x2′ + x3′ .
                                                   3     3     3
                                                   2     2     1
                                            x3 = − x1′ + x2′ + x3′
                                                   3     3     3
Следовательно, имеем канонический вид квадратичной формы:
 f = 2 x1′ − x2′ + 5 x3′
         2       2         2




                                                       28