Методические указания, контрольные работы по дисциплине "Математика" (3 семестр) для студентов специальности 060800.65. Ребро И.В. - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВПИ ВолгГТУ | Волжский

Составители: 

Рубрика: 

29
3. а) Опытные данные определены таблицей
x
i
0 1 3 4
y
i
4 0 1 2
Установить вид эмпирической формулы y=f(x), используя
аппроксимирующую зависимость с тремя параметрами a, b и с,
имеющую вид
cbxaxcbaxQy ++==
2
),,,( .
Решение.
Здесь соотношение имеет вид:
∑
=
−++=
n
i
iii
ycbxaxcbaS
1
22
)(),,( . Для
нахождения a, b и c составим систему уравнений:
0,0,0 =
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
c
S
b
S
a
S
.
Отсюда получаем систему трех линейных уравнений с тремя
неизвестными:
⇔
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
=⋅++
=++
=++
⇔
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
=−++
=−++
=−++
∑∑∑
∑∑∑∑
∑∑∑∑
∑
∑
∑
===
====
====
=
=
=
4
1
4
1
4
1
2
4
1
4
1
4
1
2
4
1
3
4
1
2
4
1
2
4
1
3
4
1
4
1
2
1
2
1
22
0)(
0)(
0)(
i
i
i
i
i
i
i
ii
i
i
i
i
i
i
i
ii
i
i
i
i
i
i
n
i
iii
n
i
iiii
n
i
iiii
yncxbxa
xyxcxbxa
xyxcxbxa
ycbxax
xycbxax
xxcbxax
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=++
=++
=++
74826
1182692
412692338
cba
cba
cba
Решаем систему, имеем: a=5/6; b=-109/30; c=18/5.
Эмпирическая формула представляет собой функцию:
5
18
30
109
6
5
2
+−= xxy совпадающую с алгебраическим многочленом
наилучшего среднеквадратичного приближения.
Сравним экспериментальные данные с результатами вычислений по
эмпирической формуле:
x
i
0 1 3 4
y
i
4 0 1 2
Y 18/5 4/5 1/5 12/5
Покажем это на графике:
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
1234
yi
y
3. а) Опытные данные определены таблицей
       xi    0    1             3           4
       yi    4    0             1           2
      Установить вид эмпирической формулы y=f(x), используя
аппроксимирующую зависимость с тремя параметрами a, b и с,
имеющую вид y = Q( x, a, b, c) = ax 2 + bx + c .
Решение.
                                                                                              n
Здесь     соотношение                      имеет               вид:        S (a, b, c) = ∑ (axi2 + bxi + c − yi ) 2 .             Для
                                                                                             i =1
                                                                                                         ∂S      ∂S      ∂S
нахождения a, b и c составим систему уравнений:                                                             = 0,    = 0,    =0.
                                                                                                         ∂a      ∂b      ∂c
Отсюда получаем                       систему               трех          линейных                  уравнений               с   тремя
неизвестными:
    ⎧n                                             ⎧ 4 4               4                 4               4

    ⎪∑ i            +      +    −            =     ⎪ ∑ i        +    ∑            +    ∑           = ∑
                2                          2                                  3                 2
           ( ax       bxi    c    xi  )  xi    0     a    x        b       x  i      c        xi            yi xi2
    ⎪ i=n1                                         ⎪ i=41            i =1              i =1            i =1
    ⎪                                              ⎪                    4                  4             4

    ⎨∑ i            +      +    −            =   ⇔ ⎨ ∑ i        +    ∑            +    ∑           = ∑      yi xi ⇔
                2                                             3                 2
           ( ax       bx i    c   y i )  x i   0     a     x       b        x  i     c        x  i
    ⎪ i=1n                                         ⎪ i=1 4            i =1
                                                                             4
                                                                                         i =1          i =1
                                                                                                       4
    ⎪                                              ⎪ a x2 + b x + c ⋅ n =
        ∑
    ⎪ i=1
    ⎩
             ( ax 2
                  i  + bx  i + c −  y  i )  = 0    ⎪
                                                   ⎩
                                                          ∑
                                                          i =1
                                                                 i         ∑
                                                                           i =1
                                                                                   i                 ∑
                                                                                                     i =1
                                                                                                            yi

    ⎧338a + 92b + 26c = 41
    ⎪
    ⎨ 92a + 26b + 8c = 11
    ⎪ 26a + 8b + 4c = 7
    ⎩
Решаем систему, имеем: a=5/6; b=-109/30; c=18/5.
Эмпирическая формула представляет собой функцию:
          5 2 109     18
    y=      x −    x+                      совпадающую                    с      алгебраическим                       многочленом
          6     30     5
наилучшего среднеквадратичного приближения.
Сравним экспериментальные данные с результатами вычислений по
эмпирической формуле:
      xi    0      1      3       4
      yi    4      0      1       2
      Y     18/5   4/5    1/5     12/5
    Покажем это на графике:
                        4,5
                          4

                        3,5
                          3
                        2,5                                                                                            yi
                          2                                                                                            y

                        1,5
                          1

                        0,5
                          0
                                       1                   2                   3                    4




                                                                  29

Страницы