Методические указания, контрольные работы по дисциплине "Математика" (3 семестр) для студентов специальности 060800.65. Ребро И.В. - 25 стр.

                                                        ∞               n
                                                          ⎛ 1⎞
    7. Определить сходимость ряда                    ∑    ⎜1 + ⎟ .
                                                     n =1 ⎝   n⎠
    Решение.
                                                                                                    n

Используем радикальный признак Коши. Для этого un = ⎛⎜1 + ⎞⎟
                                                                1
                                                                     Тогда
                                                             ⎝ n⎠
                 ⎛ 1⎞
lim n u n = lim⎜1 + ⎟ = 1. Таким образом, радикальный признак Коши не дает
n→∞         n →∞
                 ⎝ n⎠
ответа на вопрос о сходимости ряда. Проверим выполнение необходимого
                                                        n

условия сходимости: lim un = lim⎛⎜1 + ⎞⎟ = e ≠ 0 , следовательно, необходимое
                                     1
                              n→∞      n →∞
                                              ⎝    n⎠
условие сходимости не выполняется, значит, ряд расходится.
                                                            ∞
                                                                    1
    8. Исследовать на сходимость ряд                        ∑ n ⋅ ln n .
                                                            n=2

  Решение.
Используем интегральный признак Коши.
∞
    dx
∫ x ln x = ln ln x
                     ∞
                     2   = ∞ , следовательно, ряд расходится.
2
                                                            ∞
                                                                              1
                                                            ∑ (− 1)
                                                                        n
    9. Исследовать на сходимость ряд                                               .
                                                            n =1            2n − 1
   Решение.
Дан знакочередующийся ряд. Выясним, сходится ли данный ряд, применяя
признак Лейбница:
    1) проверим, выполняется ли неравенство u1 > u 2 > u 3 > ... для
                                                             1                 1        1
абсолютных величин членов ряда. u1 = , u2 = , u3 = , ... , следовательно,
                                                             1                 3        5
неравенство выполняется.
                                                                                     1
     2) найдем предел общего члена ряда: nlim                                             = 0 , следовательно,
                                           →∞                                      2n − 1
условие выполнено.
    Значит, по признаку Лейбница, исходный ряд сходится.
    Исследуем на сходимость ряд из абсолютных величин членов данного
         ∞                                                              ∞
             1                                                                 1
ряда: ∑           . Возьмем гармонический ряд                           ∑ n , который расходится, и
      n =1 2n − 1                                                       n =1
                                                                                       1     1         n    1
используем           2       признак              сравнения:                   lim          ÷ = lim        = .
                                                                               n → ∞ 2n − 1  n n → ∞ 2n − 1 2
Следовательно, ряд из абсолютных величин расходится.
    Таким образом, получаем, что исходный знакочередующийся ряд
сходится условно.
                                                                   x2 x3         xn
    10. Исследовать на сходимость ряд x +                            +   + ... +    + ...
                                                                   2   3         n
  Решение.
Найдем радиус сходимости, применяя признак Даламбера:

                                                    25