Методические указания, контрольные работы по дисциплине "Математика" (3 семестр) для студентов специальности 060800.65. Ребро И.В. - 23 стр.

    7. Найти общее решение системы дифференциальных уравнений
        ⎧ x′ = 5 x + 2 y
        ⎨                .
        ⎩ y′ = 2 x + 2 y
  Решение.
Составим характеристическое уравнение:
            5−k       2
                         = 0;        (5 − k )(2 − k ) − 4 = 0;               10 − 5k − 2k + k 2 − 4 = 0;
             2       2−k
                             k 2 − 7 k + 6 = 0;      k1 = 1;    k2 = 6.
                                       ⎧(a − k )α + a12 β = 0
Решим систему уравнений: ⎨ 11
                                       ⎩a21α + (a22 − k ) β = 0
        ⎧(5 − 1)α 1 + 2 β1 = 0        ⎧4α 1 + 2 β1 = 0
Для k1: ⎨                             ⎨
        ⎩2α 1 + (2 − 1) β1 = 0        ⎩2α 1 + β1 = 0
Полагая α1 = 1 (принимается любое значение), получаем: β1 = −2.
           ⎧(5 − 6)α 2 + 2 β 2 = 0      ⎧− 1α 2 + 2 β 2 = 0
Для k2: ⎨                               ⎨
           ⎩2α 2 + (2 − 6) β 2 = 0      ⎩2α 2 − 4 β 2 = 0
Полагая α 2 = 2 (принимается любое значение), получаем: β 2 = 1.
                       ⎧⎪ x = C1et + 2C2 e 6t
Общее решение системы: ⎨
                        ⎪⎩ y = −2C1e t + C2 e 6t
Этот пример может быть решен другим способом:
Продифференцируем первое уравнение: x′′ = 5 x′ + 2 y′; подставим в это
выражение производную у′ =2x + 2y из второго уравнения: x′′ = 5 x′ + 4 x + 4 y.
Подставим сюда у, выраженное из первого уравнения:
x′′ = 5 x′ + 4 x + 2 x′ − 10 x ; x′′ − 7 x′ + 6 x = 0 ⇒ k1 = 6; k2 = 1
  x = Aet + Be 6t ;       x′ = Aet + 6 Be 6t ; 2 y = x′ − 5 x = Aet + 6 Be 6t − 5 Aet − 5 Be6t ;
                1                                     1
  y = −2 Aet + Be6t . Обозначив A = C1 ;                 B = C2 , получаем решение системы:
                2                                     2
⎧⎪ x = C1et + 2C2 e 6t
 ⎨                        .
 ⎪⎩ y = −2C1e t + C2 e 6t



          Тема «Числовые и функциональные ряды. Ряд Тейлора»
                                                           1    1            1
    1. Исследовать на сходимость ряд                          +     + ... +      + ...
                                                          ln 2 ln 3         ln n
    Решение.
                                                               1   1                                        1
Используем I признак сравнения. Так как                           > , а гармонический ряд
                                                              ln n n
                                                                                                           ∑n
                                                      1
расходится, то расходится и ряд                  ∑ ln n .
                                                          ∞
                                                                 1
    2. Исследовать на сходимость ряд                      ∑ n2
                                                          n =1
                                                                     n
                                                                         .




                                                    23