Методические указания, контрольные работы по дисциплине "Математика" (3 семестр) для студентов специальности 060800.65. Ребро И.В. - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВПИ ВолгГТУ | Волжский

Составители: 

Рубрика: 

21
4. Изобразить область, ограниченную линиями:
а)
zz =+1
Решение.
Преобразуем:
iyxiyx +=++ 1 iyxiyx +=++⇒ )1(
2222
)1( yxyx +=++⇒
2222
12 yxyxx +=+++⇒
5,0012 −=⇒=+⇒ xx
б)
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
<≤
≥
.
3
arg0
,1
π
z
z
Тема «Дифференциальные уравнения»
1. Найти общее решение дифференциального уравнения 1-го
порядка с разделяющимися переменными
01
2
=−− ydydxy
.
Решение.
Разделяем переменные:
2
1 y
ydy
dx
−
=
. Интегрируем:
∫∫
−
=
2
1 y
ydy
dx
.
Получаем:
Cyx +−−=
2
1
или
1)(
22
=+− yCx
.
2. Найти общее решение однородного дифференциального
уравнения 1-го порядка
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=
′
1ln
x
y
x
y
y
.
Решение.
Делаем замену:
txtytxy
x
y
t +
′
=
′
== ;; .
Подставляем в исходное уравнение:
.ln;ln);1(ln ttxtttttxttttxt
=
′
+=
+
′
+
=
+
′
Разделяем переменные:
x
dx
tt
dt
=
ln
.
Интегрируя:
∫∫
=
x
dx
tt
dt
ln
, получаем:
.;ln;lnlnln
Cx
etCxtCxt ==+=
Переходя от вспомогательной функции обратно к функции у, получаем
общее решение:
.
Cx
xey =
3. Найти общее решение линейного дифференциального уравнения
1-го порядка
xxyy 22
=
+
′
.
Решение.
Метод Бернулли
. Полагаем
uvy
=
и
uvvuy
′
⋅
+
′
⋅
=
′
.
Тогда
xxvuvuvu 22 =+
′
+
′
,
xxvvuvu 2)2(
=
+
′
+
′
⇒
.
х
х
у
0
-0,5
у
х
0
Рисунок 2
Рисунок 3 
   4. Изобразить область, ограниченную линиями:
                                                                                    у
   а) z +1 = z
   Решение.
   Преобразуем: x + iy + 1 = x + iy ⇒ ( x + 1) + iy = x + iy                                        х
                                                                       -0,5         0
    ⇒ ( x + 1) 2 + y 2 = x 2 + y 2 ⇒ x 2 + 2 x + 1 + y 2 = x 2 + y 2                            х
    ⇒ 2 x + 1 = 0 ⇒ x = −0,5
                                                                                 Рисунок 2
                                                           у
      ⎧ z ≥ 1,
      ⎪
   б) ⎨           π
      ⎪0 ≤ arg z < .
      ⎩           3                                    0           х

                                                Рисунок 3
               Тема «Дифференциальные уравнения»
  1. Найти общее решение дифференциального уравнения 1-го
     порядка с разделяющимися переменными 1 − y 2 dx − ydy = 0 .
  Решение.
                             ydy                                ydy
Разделяем переменные: dx =          . Интегрируем: ∫ dx = ∫            .
                             1− y 2                            1 − y 2



Получаем: x = − 1 − y 2 + C или ( x − C ) 2 + y 2 = 1.
  2. Найти общее решение однородного                                   дифференциального
       уравнения 1-го порядка y′ = ⎛⎜ ln + 1⎞⎟ .
                                  y     y
                                                  x⎝       x   ⎠
   Решение.
                  y
Делаем замену: t =  ; y = tx; y′ = t ′x + t .
                  x
Подставляем в исходное уравнение: t ′x + t = t (ln t + 1); t ′x + t = t ln t + t ; t ′x = t ln t.
                                     dt    dx
Разделяем переменные:                     = .
                                   t ln t   x
                     dt          dx
Интегрируя:       ∫ t ln t = ∫      , получаем:   ln ln t = ln x + C; ln t = Cx; t = eCx .
                                  x
Переходя от вспомогательной функции обратно к функции у, получаем
                             Cx
общее решение: y = xe .
   3. Найти общее решение линейного дифференциального уравнения
      1-го порядка y ′ + 2 xy = 2 x .
   Решение.
Метод Бернулли. Полагаем y = uv и y ′ = u ⋅ v′ + v ⋅ u ′ .
Тогда u ′v + uv ′ + 2 xvu = 2 x , ⇒ u ′v + u (v′ + 2 xv) = 2 x .


                                                  21

Страницы