Обработка результатов прямых и косвенных измерений. Регеда В.В. - 37 стр.

      - погрешности измеряемых величин имеют нормальное
распределение.
      Доверительные интервалы для истинных значений измеряемых
величин строят на основе распределения Стьюдента при числе степеней
свободы, равном n-m, или на основе нормального распределения, если
результаты измерений можно считать нормальными.
      Для случая равноточных измерений y и x, связанных линейным
уравнением
       y = a + bx                                              (8)
искомыми величинами являются a и b. Равноточность предполагает, что
для всех результатов измерений i значений yi и xi их дисперсии не зависят
от величин y и x. Кроме того, предполагается, что значение xi задается в
серии измерений точно, а учитывается только погрешность определения yi,
в состав которой входит погрешность, связанная с заданием величин xi.
      Подставив в (8) измеренные значения, можно получить систему
уравнений
              ~
       a~ + x1b = y1 ,
              ~
      a~ + x2b = y 2 ,
       ..................
      ~        ~
      a + xn b = y n .
     Для получения условных уравнений в виде (3) к каждому из
уравнений (2) добавляются (или вычитаются – это все равно) остаточные
погрешности ν i . После этого составляется соотношение типа (4)
                          [ (                      )] = ∑ν
                    n                                   n
                     ~
     V = ∑ yi − a~ − b xi
                                                   2               2
                                                               i       → min .
                   i =1                                i =1

     Для отыскания минимума функции V определяются частные
производные по искомым неизвестным а и b:
       ∂V
                                   (                   )
                   n
                                ~
        ~ = −2  ∑     yi − a~ − b xi = 0,
       ∂a        i =1
      ∂V
                                       (                   )
                n
                             ~ ~
       ~ = −2∑ xi yi − a − b xi = 0.
      ∂b      i =1

     После упрощения получается система нормальных уравнений
       ∑ (y                                )
         n
                                 ~
                     i    − a~ − b xi = 0,
        i =1


      ∑ x (y                                   )
       n
                                     ~
               i          i   − a~ − b xi = 0.
      i =1

     Приведем эти уравнения к виду, удобному для решения




                                                                            37