Обработка результатов прямых и косвенных измерений. Регеда В.В. - 38 стр.

                ~ n      n
          a~n + b ∑ xi = ∑ yi ;
         n
                                 i =1                    i =1
                                                                                                                            (9)
                ~ n 2    n
      a~ ∑ xi + b ∑ xi = ∑ xi yi .
        i =1                      i =1                         i =1
                                              ~
      Решая (9) относительно неизвестных a~ и b , получим
                  n               n                        n                   n

               ∑ xi2 ∑ yi − ∑ xi ∑ xi yi
      a~ =       i =1            i =1                    i =1              i =1
                                                                               2
                                 n
                                      ⎛      ⎞                 n
                             n∑ xi2 − ⎜ ∑ xi ⎟
                              i =1    ⎝ i =1 ⎠
                       n                           n                  n
               n∑ xi yi − ∑ xi ∑ yi
      ~
      b =             i =1                        i =1             i =1
                                                                           2
                             ⎛
                             n
                                    ⎞                  n
                      n∑ x − ⎜ ∑ xi ⎟ 2
                                      i
                       i =1  ⎝ i =1 ⎠
      Умножая числитель и знаменатель на 1                                                                   и вводя обозначения
                                                                             n2
               1 n                               1 n         1 n              1 n 2
                 ∑ xi ,                       y = ∑ yi , xy = ∑ xi yi , x 2 = ∑ xi , Dx = x 2 − ( x ) ,
                                                                                                     2
      x=
               n i =1                            n i =1      n i =1           n i =1
получаем
           x 2 y − x xy ~ xy − x y
      a~ =             , b =       .                                                                                        (10)
                Dx           Dx
      В формулах (10) дисперсия характеризует рассеянность точно
задаваемых значений xi около среднего значения x на оси x. Если прямая
(8) проходит через начало координат (a=0), то формулы (10) значительно
упрощаются:
                                                            ~
      x = y=0                             è         a~ = 0, b = xy                             .
                                                                                          Dx
     Случайные погрешности оценок неизвестных a и , если использовать
соотношения (6), (7) и систему уравнений (9) будут равны
                                                                           n

                ⎛ ∂a~ ⎞
                                              2                       ∑x           2
                                                                                   i                   ~ 2
                                                                                                   ⎛ ∂b ⎞      n
      σ a~ = σ ⎜⎜      ⎟⎟ = σ                                             i =1
                                                                                       , σ b~ = σ ⎜⎜      ⎟ =σ
                                                                                                          ⎟      ,          (11)
                ⎝ ∂y i  ⎠                                                      Δ                   ⎝ ∂y i ⎠    Δ
                                                           2
             n
               ⎛ n     ⎞
где Δ = n∑ x − ⎜ ∑ x j ⎟ - детерминант системы (9).
                        2
                        i
         i =1  ⎝ i =1 ⎠
      В данном случае СКО условных уравнений является СКО
распределения y(x) и для нормального закона распределения y(x), может
на основании (7) может быть представлено в виде
      σ=
                        1 n 2
                            ∑ν i =
                      n − m i =1
                                                                            1 n
                                                                                ∑
                                                                          n − 2 i =1
                                                                                           (      ~
                                                                                     yi yi − a~ − b xi .)

                                                                                                   38