Вычислительная математика. Решетов Л.А - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПб ГУАП | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

20
3. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ
“РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ”
Пусть некоторая функция y = f(x) при
axb
≤≤
определена и непре-
рывна. Предположим, что имеются два числа x
1
и x
2
такие, что
12
ax x b
≤<≤
. Если f(x
1
) и f(x
2
) имеют противоположные знаки, то меж-
ду x
1
и x
2
существует хотя бы один корень функции f(x).
3.1. Основные теоретические сведения
Нелинейное уравнение f(x) = 0 можно эквивалентным преобразова-
нием многими способами привести к виду g(x) = h(x). Построение схо-
дящейся числовой последовательности
()
{}
0
m
m
x
∞
=
по правилу
()()
(1) ()
mm
gx hx
+
=
при заданном
()
0
i
x
называется итерационным ме-
тодом вычисления корня x
N
.
Вследствие предполагаемой непрерывности предельное значение
такой последовательности является корнем, потому что из основных
соотношений
()
lim
m
m
xa
→∞
=
и
()
1
lim
m
m
xa
+
→∞
=
в силу непрерывности g и
h имеем g(a) = h(a), т. е. a = x
N
.
Достаточные условия сходимости: g’(x) и h’(x) непрерывны в некото-
рой окрестности x
N
, x
(0)
лежит в этой окрестности, и в этой окрестнос-
ти
() ()
gx hx
′′
>
.
Выбором функций g(x) и h(x) можно получить ряд хорошо сходящих-
ся методов.
Метод Ньютона
() ()
()
()
fx
gx x hx x
fx
==−
′
(3.1)
Сходимость имеет место тогда, когда
()
2
1
ff
hx
f
′′
′
=<
′
в окрестнос-
ти x
N
. Если x
N
является простым корнем, то выполняются соотношения

Страницы