Вычислительная математика. Решетов Л.А - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПб ГУАП | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

5
(1) (1)
/
,
nn
nn nn
xb a
−−
=
(1 (1) (1)
1
/
,
n
iii
ij
iijii
ji
xb axa
−−=
=+


=−


∑
1, 2, ...,
1.i
nn=− −
(1.18)
Рассмотренный простейший вариант метода Гаусса имеет ряд недо-
статков [2]. Во-первых, предположения о том, что коэффициенты
(0) (1
)
11 2
2
,
a
a
, … (ведущие элементы) не равны нулю, может оказаться не-
выполненным, даже если матрица А является невырожденной (det A ≠
0), и система должна иметь единственное решение. Тогда приведенный
метод решения формально непригоден. Кроме того, ведущие элементы
могут оказаться достаточно малыми и после деления на них точность
решения системы резко снижается из-за ошибок округления.
Для того чтобы избавиться от указанных недостатков, применяют метод
исключения Гаусса с выбором ведущего элемента. Этот метод всегда дает
единственное решение, если определитель системы отличен от нуля. Кро-
ме того, он менее чувствителен к ошибкам округления. Уменьшение вы-
числительной погрешности в методе Гаусса с выбором ведущего элемента
производится путем перестановки строк и столбцов матрицы А так, чтобы
ведущий элемент на k-м шаге исключения был наибольшим по модулю из
коэффициентов, участвующих в дальнейшем исключении:
(1) (1)
,
max , 1
,
kk
ij
kk
kijn
aak
n
−−
≤≤
=≤≤
(1.19)
где
(0)
.
i
j
ij
a
a
=
Выбор ведущих элементов по формуле (1.19) называют методом ис-
ключения с полным упорядочением.
Полное упорядочение требует большой дополнительной вычисли-
тельной работы, поэтому часто останавливаются на методе исключения
с частичным упорядочением по строкам. Выбор ведущих элементов
производится согласно формуле
(1) (1)
max
.
kk
kk ik
kin
aa
−−
≤≤
=
(1.20)
Например, для системы уравнений
12 3
123
12 3
45121,
32,
10 3
xx x
xxx
xx x
++ =
−+ =
+− =

Страницы