Численные методы оптимизации. Рейзлин В.И. - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

18
2hh
и положим
21
x x h

и т.д., до тех пор, пока на некотором шаге не будет
выполнено условие
1
( ) ( ).
nn
f x f x
Рис. 9. Иллюстрация к методу Свенна
Теперь ясно, что минимум унимодальной функции лежит на отрезке
43
, xx
и его можно найти одним из рассмотренных методов.
Главное достоинство поисковых методов состоит в том, что они основаны
на вычислении только значений функции и, следовательно, не требуют выпол-
нения условия дифференцируемости и записи целевой функции в аналитическом
виде. Последнее свойство особенно ценно при имитационном моделировании.
Однако это достоинство поисковых методов является и их недостатком –
скорость их сходимости невелика.
Заметим, что если функция
()fx
достаточно гладкая, например, имеет не-
прерывные первую и вторую производные, то скорость сходимости численных
методов можно увеличить, применяя методы с использованием производных.
Рассмотренные методы оптимизации используют только значения функ-
ции
()fx
. Такие методы называются методами 0-го порядка. Если предполо-
жить, что функция
()fx
дифференцируема, то можно предложить более быст-
рые методы, использующие производные. Методы, использующие первую про-
изводную, называются методами 1-го порядка и т. д.
2.2. Ньютоновские методы
Пусть функция
()fx
дважды дифференцируема. Как известно из матема-
тического анализа, условием минимума такой функции является равенство
*
( ) 0fx
. (2.8)
Это необходимое условие. Однако для того чтобы точка x
*
была миниму-
мом, должно также выполняться достаточное условие
*
( ) 0fx

. (2.9)
Итак, будем численно решать уравнение
( ) 0fx
. (2.10)
Зададим некоторое начальное приближение
и разложим в этой точке
функцию в ряд Тейлора. Ограничимся лишь членами до второго порядка вклю-
чительно, т.е. построим квадратичную модель функции:

Страницы