Численные методы оптимизации. Рейзлин В.И. - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

19
2
1
ˆ
2
k k k k k
f x f x f x x x f x x x
. (2.11)
Если
0
k
fx

,
ˆ
fx
будет иметь единственную стационарную точку.
Найдем ее, для чего приравняем нулю производную
ˆ
()fx
:
ˆ
( ) 0
k k k
f x f x f x x x
.
Решим это уравнение относительно х и найденное решение примем за оче-
редное, k+1-ое приближение к минимуму:
1
k
kk
k
fx
xx
fx


. (2.12)
Формулу (2.12) можно получить иначе, если применить численный метод
решения уравнения
( ) 0gx
, известный, как метод Ньютона:
1
k
kk
k
gx
xx
gx

.
Надо только учесть, что теперь мы решаем уравнение
( ) 0fx
, то есть
положить
.
У алгоритма (2.12) есть два недостатка. Во-первых, уравнение
( ) 0fx
может определять не только минимум, но и максимум. Во-вторых, модельная
функция
ˆ
()fx
может сильно отличаться от оптимизируемой функции
()fx
и
шаг
1kk
xx
может оказаться слишком большим (рис. 10):
Рис. 10. Иллюстрация к методу Ньютона
Поэтому стратегию (2.12) следует уточнить.
Чтобы быть уверенными, что мы продвигаемся к минимуму, будем на
каждом шаге проверять соотношение
1kk
f x f x
. Если оно выполняется, то
переходим к следующему шагу и т.д. Если же
1kk
f x f x
, а
1
0
k k k
f x x x

, то функция
()fx
должна первоначально уменьшаться в

Страницы