Математические методы проектирования. Рейзлин В.И - 103 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

103
всю целиком). Формально все, что было сказано, запишется так. Пусть
X – произвольное множество и
,,f g h X
. Поставим каждой паре f и g в
соответствие неотрицательное число
( , )d f g
, такое, что для любых
,fg
и h из X справедливо
1.
( , )d f g
>0, если
fg
,
2.
( , )d f f
=0,
3.
( , )d f g
=
( , )d g f
,
4.
( , ) ( , ) ( , )d f g d f h d h g
.
Очевидно, что
( , )d f g
есть функция (отображение), определенная
на любой паре векторов из X со значениями в числах (в
1
). Определен-
ная так функция называется метрикой на X, а само X, снабженное мет-
рикой (или, как говорят, пара
), – метрическим пространством.
Обратите внимание, что для того, чтобы некоторое множество стало
метрическим пространством, на нем необходимо ввести метрику и
только. При этом оно, естественно, не становится векторным простран-
ством, ибо на нем еще не определены сложение элементов и умножение
их на число. В том случае, когда мы работаем с векторным простран-
ством V, можно воспользоваться тем, что у нас уже есть одна выделен-
ная точка 0, и ввести более сильное понятие нормы вектора, т. е., по
сути, расстояние от элемента до 0. Поскольку здесь предполагается
наличие некоторого правила, ставящего в соответствие каждой точке из
V вещественное число, которое мы называем расстоянием до точки 0,
мы имеем функцию (отображение), отображающую V в
1
. Для обозна-
чения нормы используется специальный значок
. Норма вектора f
обозначается
f
. Запишем определение нормы формально для более
общего комплексного случая, который нам понадобится впоследствии.
Пусть V – векторное пространство и
fV
. Нормой вектора f называ-
ется неотрицательная числовая функция
f
, определенная на V, такая,
что для любых
,f g V
и
1
выполняются условия:
1.
0, 0,ff
2.
0 0,
3.
,ff

4.
.f g f g
(неравенство треугольника).

Страницы