Математические методы проектирования. Рейзлин В.И - 107 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

107
Если P – множество функций f, для которых расстояние от задан-
ной функции g не превышает
, т. е.
fg

, то все изменения f
должны быть заключены в полосе шириной
2
, охватывающей функ-
цию g. Для нормы
1
это не так, поскольку ограничиваться будет
лишь интеграл, а значения функции в отдельных точках могут этому
ограничению не удовлетворять. Ограничение
()fx
, таким образом,
более сильное, нежели
1
f
, и из первого следует второе, но не
наоборот.
4.6. Банаховы пространства
При решении уравнения вида
Af g
часто прибегают к так назы-
ваемым итерационным процедурам. Суть их сводится к тому, что с по-
мощью некоторого алгоритма по выбранному начальному приближе-
нию
строится последовательность
{}
n
f
, каждый следующий член ко-
торой должен по замыслу быть все более и более точным приближени-
ем решения
f
. Последовательность приближений
{}
n
f
, как говорят,
должна сходиться к точному решению
f
. Что понимать под этой схо-
димостью? Если функции
интерпретировать как векторы (точки)
векторного пространства, то нам надо определить сходимость последо-
вательности векторов. Естественно воспользоваться здесь опытом ис-
следования сходимости числовых последовательностей и придумать
что-нибудь в том же духе. Как известно, числовая последовательность
1
{}
nn
a
сходится к некоторому числу
, когда модуль разности
n
aa
стремится к нулю при стремлении n к
. Если члены последовательно-
сти
{}
n
f
принадлежат произвольному множеству X, то воспользоваться
сходимостью, определенной для числовых последовательностей, не
удается. Однако если ввести на X метрику или норму, то мы сможем
определить сходимость
{}
n
f
буквально так же, как это было сделано для
чисел. Рассмотрим некоторое линейное пространство V с метрикой
( , ), ,d f g f g V
(если V нормировано, то
( , )d f g f g
). Пусть
1
{}
nn
f
есть последовательность точек из V, т. е. некоторое счетное под-
множество V (счетное, поскольку оно пронумеровано, и значит, может
быть сосчитано). Если существует такая точка
fV
, что с ростом n
расстояние между
и
f
сокращается в пределе до нуля
lim ( , ) 0,
n
n
d f f

или
lim 0
n
n
ff


,

Страницы