Математические методы проектирования. Рейзлин В.И - 108 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

108
то последовательность
{}
n
f
называется сходящейся, а элемент
f
назы-
вается пределом последовательности
{}
n
f
. Это, как известно, записы-
вается так:
lim ,
n
n
ff

или
n
ff
.
Для того чтобы оценить, является ли последовательность сходя-
щейся, мы должны знать предел и убедиться в том, что расстояние от
точек последовательности до предела стремится к нулю. Это, вообще
говоря, неудобно, так как предел, как правило, неизвестен, а в нашем
распоряжении имеются лишь члены последовательности. Вместе с тем
кажется очевидным, что с ростом номеров точек
i
f
и
j
f
расстояние
между ними стремится к нулю. При этом возрастающие номера
i
и
вовсе не должны быть между собой как-либо связаны, нужно только,
чтобы они оба возрастали. Действительно, пусть
, { }
i j n
f f f
и
n
ff
,
тогда в силу неравенства треугольника
( , ) ( , ) ( , )
i j i j
d f f d f f d f f
.
Если
i 
и (независимо от i)
j 
, то
( , ) 0
i
d f f
и
( , ) 0
j
d f f
, откуда
( , ) 0
ij
d f f
. Последовательность
{}
n
f
, обладаю-
щая свойством
( , ) 0
ij
d f f
при
,ij
, называется фундаменталь-
ной, или последовательностью Коши. И мы только что показали, что
всякая сходящаяся последовательность является последовательностью
Коши. Верно ли обратное? Для конечномерного случая известно, что
обратное утверждение верно. Однако в бесконечномерном случае (а
множества функций, как правило, бесконечномерны) это уже не так.
Приведем в качестве иллюстрации такой пример. Пусть
0
([ 1, 1])VC
– пространство непрерывных функций, определенных на отрезке
[ 1, 1]
с нормой
1
1
1
( ) f f x dx
. Рассмотрим последовательность функций
{}
n
f
, определенных следующим образом:
1,
1,
0,
n
f nx

1
1
[ 1,0],),
(0, ),
[ ,1].
n
n
x
x
x

(4.13)
Первые несколько функций показаны на рис. 30. Несомненно, эти
функции принадлежат рассматриваемому нормированному линейному

Страницы