ВУЗ:
Составители:
12
1
1
1
( ) ( )
( ) ( )
i i i
ii
ii
. (2.20)
В методе секущих первые два расчета делают с наудачу выбран-
ными близкими значениями
0
и
1
, а следующие значения параметра
вычисляют по формуле (2.20) для i=1,2,… . Итерации выполняются до
удовлетворения заданной точности.
Заметим, что этот метод быстро сходится вблизи корня уравнения
(2.17). Сходимость вдали от корня зависит от того, насколько удачно
выбраны начальные приближения
0
и
1
.
В качестве примера решим методом стрельбы краевую задачу
sin
x
y e y
с граничными условиями y(0)=1, y(1)=2 на отрезке [0,1].
Заменой переменных y=y
0
,
1
yy
сведем дифференциальное урав-
нение второго порядка к системе двух дифференциальных уравнений
первого порядка:
01
10
,
sin
x
yy
y e y
с краевыми условиями
00
(0) 1, (1) 2.yy
Задачу Коши для полученной системы с начальными условиями на
левом конце
01
(0) 1, (0) (т. е. (0) )y y y
будем решать методом
Рунге-Кутта 4-го порядка с шагом h=0.1. Функция
( ) ( ( , ), ( , ))U b V b
на правой границе тогда есть
01
0
(0) 1, (0)
(1) 2
yy
y
. Здесь
01
0
(0) 1, (0)
(1)
yy
y
означает решение задачи Ко-
ши, полученное методом Рунге-Кутта в точке b=1 для величины y
0
(1) с
начальными условиями y
0
(0)=1, y
1
(0)=
.
Параметр
найдем, используя
схему секущих (2.20), производя «выстрелы» (т. е. многократно решая
задачу Коши) до удовлетворения условия на правом конце
( ) 0
, ко-
торое здесь принимает вид
01
0
(0) 1, (0)
(1) 2
yy
y
, где ε – заранее за-
данная точность. Точность ε выберем равной
4
10
.
Примем, например, в качестве первых двух значений параметра
следующие:
0
=1.0,
1
=0.8. Дважды решая задачу Коши с этими пара-
метрами, получим следующие решения
01
0
(0) 1, (0) 1.0
(1)
yy
y
=3.168894836 и
01
0
(0) 1, (0) 0.8
(1)
yy
y
=2.97483325. Далее будем вычислять новые приближе-
ния параметра
по формуле (2.20). Результаты представим в следую-
щей таблице:
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
- …
- следующая ›
- последняя »
