Математические методы проектирования. Рейзлин В.И - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

14
Вычислим решение этой задачи Коши и обозначим его через
11
( ), ( )U x V x
. Рассмотрим функции
01
( ) ( ) ( )U x U x C U x
и
01
( ) ( ) ( )V x V x C V x
. Очевидно, что в точке a эти функции удовлетво-
ряют краевому условию:
11
1 0 1 1 0 1
11
1 1 1 1 1 1
11
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
(0 1) 1 .
p U a q V a
p U a C U a q V a C V a
tp
p C q C C p t C p t
qq






Поэтому общее решение неоднородной задачи Коши, удовлетво-
ряющее левому краевому условию (2.21
б
) дается следующим однопара-
метрическим семейством
0 1 0 1
( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ).U x U x C U x V x V x C V x
(2.22)
Значение параметра C выбираем так, чтобы удовлетворить правому
краевому условию (2.21
б
):
2 0 2 0 2
2 1 2 1
( ) ( )
( ) ( )
p U b q V b t
C
p U b q V b

. (2.23)
Искомое решение краевой задачи (2.21) тогда находится по форму-
ле (2.22).
Итак, решение линейной краевой задачи требует только двух «вы-
стрелов» – вспомогательные задачи Коши решаются дважды.
2.2. Метод конечных разностей, или метод сеток
Рассмотрим линейную краевую задачу
( ) ( ) ( ),
,
y p x y q x y f x
a x b

(2.24)
(2.25)
0 1 0 1
( 0, 0)
,
где
()px
,
()qx
, и
()fx
непрерывны на [a, b].
Разобьем отрезок [a, b] на n равных частей длины, или шага
()ba
h
n
.

Страницы