Математические методы проектирования. Рейзлин В.И - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

23
Составим функцию
( ) ( )R L y f x
. Подставляя сюда вместо y вы-
ражение (2.55), будем иметь
10
1
( , ,..., ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
n
n i i
i
R x c c L y f x L U f x c L U
. (2.56)
Если при некотором выборе коэффициентов c
i
выполнено ра-
венство
1
( , ,..., ) 0
n
R x c c
при
,a x b
то функция y является точным решением краевой задачи (2.50), (2.51).
Однако подобрать так удачно функции
i
U
и коэффициенты c
i
в общем
случае не удается. Поэтому ограничиваются тем, что требуют, чтобы
функция
1
( , ,..., )
n
R x c c
обращалась в нуль в заданной системе точек
12
, ,...,
n
x x x
из интервала [a, b], которые называются точками коллокации.
Сама функция R называется невязкой уравнения (2.50). Очевидно, что в
точках коллокации дифференциальное уравнение (2.50) будет удовле-
творено точно, и невязка в этих точках равна нулю.
Итак, метод коллокации приводит к системе линейных уравнений
11
1
( , ,..., ) 0,
...
( , ,..., ) 0.
n
nn
R x c c
R x c c
(2.57)
Из системы (2.57) в случае ее совместности можно определить ко-
эффициенты
, после чего приближенное решение краевой задачи
дается формулой (2.55).
Пример. Методом коллокации и методом сеток решить краевую
задачу
2
(1 ) 1 0,
( 1) 0, (1) 0.
y x y
yy

(2.58)
1. Метод коллокации.
В качестве базисных функций выберем полиномы
2 2 2
( ) (1 ), 1,2,...
n
n
U x x x n
.
Эти полиномы удовлетворяют краевым условиям:
( 1) 0.
n
U 
В
качкстве точек коллокации возьмем следующие абсциссы:
1 2 3
0.5, 0, 0.5.x x x
Ограничиваясь двумя базисными функция-
ми, положим

Страницы