Математические методы проектирования. Рейзлин В.И - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

26
и, кроме того функции
k
(x)
при
1 k
образуют в классе функций
c
2
[a, b], удовлетворяющих условиям (2.65), полную систему.
Заметим, что свойство полноты понимается следующим образом.
Обозначим через G класс функций y(x), принадлежащих c
2
[a, b]
(т. е. дважды непрерывно дифференцируемых на [a, b]) и удовлетворя-
ющих граничным условиям (2.65). Говорят, что система функций
{ ( )}
k
x
полна в классе G, если для любого
0
и любой функции
()y x G
можно указать такое n и такие параметры
12
, ,...,
n
a a a
, что имеет
место неравенство
( ) ( )
( ) ( ) , 0, 1, 2, ,
ii
n
y x g x i a x b
где
1
( ).
n
n k k
k
g a x
Это означает, что для любой допустимой функции
()y x G
найдется такая функция
, которая на [a, b] будет сколь угодно
точно приближать функцию y(x) вместе с ее производными
()yx
и
()yx

.
Докажем, что если для некоторой функции F(x) и полной системы
функций
()
k
x
выполняется соотношение ортогональности
( ) ( ) 0 при 1 ,
b
k
a
F x x dx k
(2.66)
то функция
( ) 0 на [ , ]F x a b
. Для этого из полной системы
()
k
x
по-
следовательной ортогонализацией (см. п. 4.8 приложения) построим
полную ортогональную систему
( ):
k
x
1
( ) ( ),
k
k km m
m
x c x

причем
0,
kk
c
иначе
()
k
x
были бы линейно зависимы. Разлагая по но-
вой системе функцию F(x), найдем
1
( ) ( ).
ll
l
F x d x
Подставляя это разложение в соотношение ортогональности (2.66),
придем к равенству
11
0 ( ) ( ) ( ) ( ) , 1,2,...
bb
k
k l l km m
lm
aa
F x x dx d c dx k



(2.67)

Страницы