Математические методы проектирования. Рейзлин В.И - 40 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

40
()
n
h
m
m
g
.
Норму в
h
F
определим правилом
()
,
max max .
hn
mm
m n m
g


Пусть
s
rh
, где r и s – некоторые положительные числа.
Предположим, что для
2
2
u
x
и
4
4
u
x
верны оценки
2
2
2
( , )
max
x t D
u
M
t
,
4
4
4
( , )
max
x t D
u
M
t
.
Тогда легко получить
, (3.15)
2
(2) ( ) (2)
24
,
max ( )
2 12
S
hS
mn
mn
h
rh
f r h M M h
F



. (3.16)
Для параболических уравнений, как мы увидим далее, в случае
схемы (3.13) можно взять S=2, а в случае схемы (3.14) можно взять S=1.
Из формул (3.15), (3.16) следует, что разностные схемы (3.13),
(3.14) аппроксимируют задачу
()L u f
с погрешностью порядка S от-
носительно h.
Разностная схема (3.13) позволяет по значениям решения на нуле-
вом слое, т. е. по значениям
0
, 0, 1,...
m
um
вычислить значения на
первом слое
1
, 0, 1,...
m
um
. Для этого достаточно в (3.13) положить
n = 0 и произвести вычисления, носящие рекурсионный характер. Потом
по значениям
1
m
u
можно аналогично при n = 1 вычислить значения
2
m
u
и т.д. В силу этого разностную схему (3.13) называют явной.
Разностная схема (3.14) такими свойствами не обладает. Действи-
тельно, если мы в (3.14) положим n = 0, то в левой части полученной
формулы будет линейная комбинация из значений
1 1 1 0
11
, , ,
m m m m
u u u u

, в
правой части будут значения известной функции
( ,0)
m
x
и
()
m
x
. Для
вычисления значений на первом слое
1 1 1 1 1
2 1 0 1 2
..., , , , , ,...u u u u u

в этом
случае необходимо решать бесконечную систему линейных уравнений.
По этой причине схему (3.14) называют неявной.

Страницы