ВУЗ:
Составители:
44
Решение таких систем является сложной и трудоемкой задачей, по-
этому разностные схемы (3.14) неудобны для задач Коши на бесконеч-
ных отрезках и применяются редко. Однако, если отрезок оси x, на ко-
тором рассматривается задача Коши, конечен, т. е.
, a x b b a K
, а
на прямых x=a и x=b дополнительно заданы некоторые ограничения на
решение
( , ),u x t
то разностные схемы вида (3.14) оказываются весьма
эффективными. В частности, можно показать, что такие схемы являют-
ся абсолютно устойчивыми, т. е. устойчивыми при любых значениях
2
0rh
.
Если, например, на отрезках прямых x=a и x=b, заданы усло-
вия
0
( , ) ( )u a t t
,
1
( , ) ( )u b t t
, то вид системы (3.23) существенно
изменится:
1 1 1
11
11
0 1 1 1
( ) (1 2 ) ( ) ( ,0),
( ), ( ),
1, 2,..., 1, .
m m m m m
mM
r u u r u x x
u t u t
ba
m M h
M
(3.24)
Формулы (3.24) представляют собой систему M+1 алгебраических
уравнений относительно
1 1 1
01
, ,...,
M
u u u
. Матрица этой системы трехдиа-
гональна и ее можно решить методом прогонки. Отсюда ясно, что реа-
лизация неявных разностных схем требует больших вычислительных
затрат для вычисления решения на одном временном слое, но таких
слоев может быть немного из-за того, что в этом случае отсутствуют
ограничения на соотношение
2
/h
. Если пользоваться явной разност-
ной схемой, то вычисление решения на следующем слое осуществляет-
ся по рекурсионному правилу и связано с минимальными вычислитель-
ными затратами, однако из-за ограничения
2
1
2h
число временных
слоев в случае явных схем может быть существенно большим по срав-
нению с числом временных слоев для неявных схем.
Рассмотрим теперь вопрос о сходимости схемы (3.13). Эта схема
аппроксимирует задачу (3.5), (3.6) с погрешностью порядка
2
()O r h
и
устойчива при
1/2r
. Поэтому схема (3.13), по теореме об аппрокси-
мации и устойчивости, будет сходящейся. При этом погрешность для
приближенного решения будет величиной порядка
2
()O r h
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 42
- 43
- 44
- 45
- 46
- …
- следующая ›
- последняя »
