Математические методы проектирования. Рейзлин В.И - 53 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

53
Доказательство
Предположим противное. Пусть
()h
имеет свое наибольшее значе-
ние
0
в
ij h
Д
. Мы можем считать, что хотя бы одно из значений
1, 1, , 1 , 1
; ; ;
i j i j i j i j
строго меньше
ij
. Тогда имеем
1, 1, 1, 1,
()
22
( , )
2 ( ) ( )
( ) 0
i j ij i j i j ij i j ij
h
xx
xy
ij
hh
,
, 1 , 1 , 1 , 1
()
22
( , )
2 ( ) ( )
( ) 0
i j ij i j i j ij i j ij
h
yy
xy
ij
ll
.
При этом хотя бы одна из этих величин строго отрицательна в силу
предположения о значении
ij
. Тогда окончательно получаем
( ) ( ) ( )
( , ) ( , ) ( , )
( ) ( ) ( ) 0
h h h
h xx yy
x y x y x y
i j i j i j
. (3.44)
Но формула (3.44) противоречит условию леммы (3.43) и поэтому
наше предположение неверно. Что и требовалось доказать.
Лемма 2. Пусть
– некоторая сеточная функция, опре-
деленная на
,
h mn
const
Д
. Если выполняется условие
( ) 0
( , )
( ) 0, ( , )
h
h m n h
xy
mn
xy
Д
, (3.45)
то
()h
достигает своего наименьшего значения на
h
D
в граничных
точках, т. е. на
h
Г
.
Доказательство аналогично предыдущему.
Теорема (принцип максимума).
Каждое решение разностного уравнения
( ) 0
( , )
( ) 0, ( , )
h
h m n h
xy
mn
xy
Д
принимает свое наибольшее и
наименьшее значение в некоторых точках границы
h
Г
.
Доказательство сразу следует из лемм 1 и 2.
Применим эту теорему к доказательству однозначной разрешимо-
сти разностной схемы
( ) ( )
()
hh
h
L z g
(3.46)
при любых
()h
h
gF
.

Страницы