Математические методы проектирования. Рейзлин В.И - 54 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

54
С этой целью рассмотрим однородную разностную схему
()
( ) 0
h
h
Lz
и покажем, что она имеет только нулевое решение
()
0
h
z
.
Разностную однородную схему
()
( ) 0
h
h
Lz
запишем в виде:
( ) 0
( , )
()
()
( , )
( ) 0, ( , ) ,
()
0, ( , ) .
h
h m n h
xy
mn
h
h
h
m n h
xy
mn
z x y
Lz
z x y Г

Д
Если бы
()h
z
не равнялось тождественно нулю, то тогда свое
наибольшее значение и свое наименьшее значение величина
()h
z
, в силу
принципа максимума, могла бы иметь в точках
h
Г
. Но на
()
0
h
h
Гz
,
значит и всюду в
h
Д
будет
()
0
h
z
. Но
()h
z
– решение однородной си-
стемы алгебраических уравнений. И если эта система имеет только
тривиальное решение, то определитель ее матрицы не равен нулю. Но
разностная схема (3.46) есть система линейных алгебраических уравне-
ний с той же матрицей. Так как ее определитель отличен от нуля, то
схема (3.46) имеет решение и притом единственное. Итак, схема (3.46)
однозначно разрешима.
Теперь покажем, что схема (3.46) обладает свойством
. (3.47)
Если мы это установим, то докажем устойчивость схемы (3.42).
Оценку (3.47) мы получим путем построения мажоранты для функции
()h
z
по правилу Гершгорина.
Сначала отметим следующий факт. Пусть
( , )P x y
– многочлен вто-
рой степени от двух аргументов
22
00 10 20 01 02 11
( , ) .P x y a a x a x a y a y a xy
Тогда
()
20 02
( , )
( ) 2( )
h
h
xy
mn
P a a
. (3.48)
Действительно, рассмотрим
()
1, , 1,
2
( , )
2
1
( ) 2
1
( , ) 2 ( , ) ( , )
h
xx m j m j m j
xy
mn
m n m n m n
P P P P
h
P x h y P x y P x h y
h




Страницы