Математические методы проектирования. Рейзлин В.И - 64 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

64
Выберем равномерную прямоугольную сетку, положив
, 0, 1,..., , ;
, 0, 1,..., , ( 1) , 0.
m
n
b
x mh m M h
M
y nl n N Nl Y N l l
Для замены уравнения (3.73) разностным воспользуемся, как и в
случае задачи Коши, явным пятиточечным трехслойным шаблоном. Се-
точную область D
h
разобьем на множество
0
h
Д
внутренних узлов
0
{( , ), 1,..., - 1; 1,..., - 1}
h m n
x y m M n N Д
,
и множество Г
h
граничных узлов
{( , ), 0,..., , 0; 0, 0,..., ; , 0,..., }.
h m n
x y m M n m n N m M n N
Γ
На множестве
0
h
Д
уравнение (3.73) и начальные условия (3.74) ап-
проксимируются разностной схемой вида (3.70). Для замены граничных
условий на прямых x=
и x=
воспользуемся формулами типа (3.68):
10
1 2 0 1
1
1 2 2
,
,
nn
n
n n n
nn
n
MM
n n M n
uu
u
h
uu
u
h


(3.76)
0, 1, ..., ,nN
причем
1n
=
1
(y),
2n
=
2
(y
n
) и т.д.
Разностные условия (3.76) аппроксимируют граничные условия
(3.75) с погрешностью порядка
()Oh
.
Численная реализация схемы (3.70) с условиями (3.76) осуществля-
ется почти так же, как и численная реализация схемы (3.70). Вначале,
используя формулы вида (3.71), вычисляем значения на нулевом слое
, потом значения на первом слое
; в обоих случаях m изменяется в
пределах
0 mM
. Далее по уравнению (3.72) при n=1 вычисляем зна-
чения
2 2 2
1 2 1
, , ,
M
u u u
.
Для вычисления на втором слое значений
2
0
u
и
2
M
u
воспользуемся
разностными граничными условиями (3.76) при n=2. Аналогично по
значениям
1
M
u
,
2
M
u
, m=0, ..., M, вычисляются
3 3 3
1 2 1
, ,...,
M
u u u
и т.д.
В заключение заметим, что достаточным для устойчивости по
начальным данным разностной схемы
()hh
h
L u f
является условие
2
2
1
, >0
1
l
h
.
Отметим, что для уравнений гиперболического типа рассматрива-
ются также и неявные разностные схемы.

Страницы