Математические методы проектирования. Рейзлин В.И - 85 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

85
3.5.11. Двумерные уравнения теории поля
Ряд задач физики и техники описываются уравнением
22
22
0LQ
xy





. (3.120)
В частности, уравнение (3.120) используется при решении задач о
течении жидкости, переносе тепла, кручении упругого стержня, нахож-
дения электростатического поля и т.п.
Применим метод Галеркина к решению этого уравнения в случае
задачи переноса тепла. В этом случае
− коэффициент теплопроводно-
сти,
− температура, Q − источник тепла внутри тела (Q >0 , если тепло
подводится к телу) и, например, на некотором участке границы проис-
ходит конвективный теплообмен, что дает граничное условие
0
0h T T
n

(3.120
а
)
на этом участке. Здесь h − коэффициент теплопередачи.
Подстановка (3.120) в (3.106) дает
22
22
0
T
V
N Q dV
xy





. (3.121)
Прежде всего, нужно преобразовать уравнение (3.121) так, чтобы
оно содержало только первые производные. Снова используя формулу
дифференцирования произведений, найдем
2
2
T T T
N N N
x x x x x



. (3.122)
Теперь первое слагаемое в интеграле (3.121) дает
2
2
.
T
TT
V V V
N dV N N dV
x x x x x





(3.123)
По теореме Остроградского-Гаусса имеем
TT
x
VS
N dV N l dS
x x x






. (3.124)
Поступая аналогично с членом, содержащим
2
2
y

и полагая, что
уравнение (3.121) перепишем в виде

Страницы