Математические методы проектирования. Рейзлин В.И - 98 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

98
ра векторов, то он от них линейно независим. Если мы в
1
выберем
какой-нибудь вектор f, не равный нулю, то все остальные векторы ока-
зываются линейно от него зависимыми, так как могут быть записаны в
виде
f
, где
− число. В векторном пространстве
2
картина другая.
Выбрав ненулевой вектор f, мы не можем утверждать, что все остальные
векторы будут линейно зависеть от него, поскольку векторы, линейно
зависимые от f, будут лежать на прямой, проходящей через точки 0 и f.
Но уже двух векторов, не лежащих на одной прямой, достаточно для то-
го, чтобы все остальные векторы линейно от них зависели. Совокуп-
ность ненулевых векторов
, ,...fg
из некоторого линейного простран-
ства называется линейно независимой, если не существует такого
ненулевого набора чисел
, ,...

, что
... 0.fg

Для произвольного множества векторов максимальное число n ли-
нейно независимых векторов называется его размерностью. Так, мно-
жество точек на прямой имеет размерность один, т. е. одномерно, а
множество точек на плоскости − двумерно. Если такого максимального
числа не существует (число линейно независимых векторов больше лю-
бого наперед заданного числа n), то множество называется бесконечно-
мерным, в противном случае − конечномерным.
4.3. Базис векторного пространства
Рассмотрим некоторое векторное пространство V, и пусть n – его
размерность. Это значит, что в V можно выбрать n линейно независи-
мых векторов (выбрать, конечно же, можно различными способами).
Однако любой
-й вектор будет уже обязательно линейно от них
зависеть, т. е. может быть записан в виде линейной комбинации первых
n линейно независимых векторов. Иначе говоря, если
, 1,...,
i
f V i n
–
выбранные нами n линейно независимых векторов (т. е. таких, что
0
ii
f
для любого ненулевого набора
1
i
), то для любого друго-
го вектора
gV
найдутся действительные числа
,
i

, такие, что
1
0
n
ii
i
fg


. (4.1)
А если так, то, выбрав n линейно независимых элементов
1
{}
n
ii
f
,
мы можем с их помощью записать любой другой элемент из V. В самом
деле, из (4.1) следует

Страницы