Обработка данных физического эксперимента. Ринчинов А.П - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВСГУТУ | Улан-Удэ

Составители: 

Рубрика: 

делены средние значения и
соответствующие им погрешно-
сти:
uu
Δ
± ; vv Δ± ; ww
Δ
±
; (5.3)
Наилучшей оценкой истинного значения искомой
величины f является её среднее значение f . Для нахожде-
ния f необходимо в формулу (5.1) подставить средние
значения прямо измеренных величин:
f =f( ,...,, wvu ) (5 4)
Очевидно, что величина получена с некоторой по-
грешностью f
Δ
. Погрешность fΔ при косвенном измере-
нии зависит от погрешностей прямо измеренных величин и
вида функциональной зависимости (5.1).
Если прямые измерения проведены независимыми
способами и относительные погрешности δu, δv,
δw,...невелики, то теория погрешностей даёт следующую
формулу для нахождения погрешности /1 - 3/:
...
222
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
Δ
∂
∂
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
Δ
∂
∂
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
Δ
∂
∂
=Δ w
w
f
v
v
f
u
u
f
f
(5.5)
где
u
f
∂
∂
,
v
f
∂
∂
,
w
f
∂
∂
,.... - частные производные от функции
(5.1), которые вычисляются при uu = , vv
=
, ww
=
,....
Часто зависимость (5.1) имеет степенной вид
...
γβα
wvuAf ⋅⋅⋅= (5.6)
где А - некоторая константа; α, β, γ показатели степени (це-
лые или дробные, положительные или отрицательные). В
этом случае для расчета ∆f удобнее использовать формулу
...
2
2
2
2
2
2
_
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
Δ
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
Δ
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
Δ
⋅=Δ
w
w
v
v
u
u
ff
γβα
(5.7)
Поясним, как получается формула (5.7). Для этого
предварительно прологарифмируем, (5. 6)
ln f = ln A + α ln u + β ln v + γ ln w (5.8)
ИЗВЕСТНО, ЧТО
u
f
fu
f
∂
∂
⋅=
∂
∂
1)(ln
, отсюда получаем
u
f
f
u
f
∂
∂
=
∂
∂
)(ln
(5.9)
Вычислив частную производную подставив её в
(5.9), получим
u
f
u
f
1
⋅⋅=
∂
∂
α
(5.10)
Далее, заменяя в; (5.5) частные производные выра-
жениями вида (5.10) придем к формуле (5.7).
Рассмотрим пример. Дана функция
w
vu
f
2
2
+
=
. u ,
v
,
w , ∆u, ∆v,∆w - средние значения и погрешности прямо из-
делены средние значения и соответствующие им погрешно-                                         f = A ⋅ uα ⋅ v β ⋅ wγ ...               (5.6)
сти:                                                                         где А - некоторая константа; α, β, γ показатели степени (це-
           u ± Δu ;         v ± Δv ;            w ± Δw ;            (5.3)    лые или дробные, положительные или отрицательные). В
        Наилучшей оценкой истинного значения искомой                         этом случае для расчета ∆f удобнее использовать формулу
величины f является её среднее значение f . Для нахожде-                                                 2                 2   2
                                                                                          _
                                                                                               ⎛ Δu ⎞    2 ⎛ Δv ⎞ 2 ⎛ Δw ⎞
                                                                                    Δf = f ⋅ α ⎜2
                                                                                                    ⎟ + β ⎜ ⎟ +γ ⎜       ⎟ + ...       (5.7)
ния f необходимо в формулу (5.1) подставить средние                                            ⎝ u ⎠       ⎝ v ⎠    ⎝ w ⎠
значения прямо измеренных величин:                                                 Поясним,      как получается формула (5.7). Для этого
                            f =f( u , v , w ,... )                  (5 4)    предварительно прологарифмируем, (5. 6)
        Очевидно, что величина получена с некоторой по-                             ln f = ln A + α ln u + β ln v + γ ln w             (5.8)
грешностью Δf . Погрешность Δf при косвенном измере-                                                   ∂ (ln f ) 1 ∂f
                                                                                    ИЗВЕСТНО, ЧТО               = ⋅   , отсюда получаем
                                                                                                          ∂u     f ∂u
нии зависит от погрешностей прямо измеренных величин и
вида функциональной зависимости (5.1).                                                                   ∂f     ∂ (ln f )
                                                                                                            = f                        (5.9)
                                                                                                         ∂u        ∂u
        Если прямые измерения проведены независимыми
                                                                                   Вычислив частную производную подставив её в
способами     и       относительные             погрешности   δu,      δv,
                                                                             (5.9), получим
δw,...невелики, то теория погрешностей даёт следующую
                                                                                                         ∂f          1
формулу для нахождения погрешности /1 - 3/:                                                                 = f ⋅α ⋅               (5.10)
                                                                                                         ∂u          u
                        2               2             2
              ⎛ ∂f ⎞ ⎛ ∂f   ⎞ ⎛ ∂f      ⎞                                          Далее, заменяя в; (5.5) частные производные выра-
         Δf = ⎜ Δu ⎟ + ⎜ Δv ⎟ + ⎜    Δw ⎟ + ...                     (5.5)
              ⎝ ∂u ⎠ ⎝  ∂v  ⎠ ⎝   ∂w    ⎠                                    жениями вида (5.10) придем к формуле (5.7).
       ∂f ∂f   ∂f
где      ,   ,    ,.... - частные производные от функции                                                               u2 + v
       ∂u ∂v ∂w                                                                    Рассмотрим пример. Дана функция f =        . u, v,
                                                                                                                        2w
(5.1), которые вычисляются при u = u , v = v , w = w ,....                   w , ∆u, ∆v,∆w - средние значения и погрешности прямо из-
        Часто зависимость (5.1) имеет степенной вид

Страницы