Обработка экспериментальных данных. Роганов В.Р - 101 стр.

      Построение              доверительного                интервала                   для    математического
                                    2
ожидания а при известной дисперсии σ нормально распределенной
генеральной совокупности.
                Пусть выборка                    X1 , X 2 , ..., X n                  состоит из независимых
нормально распределенных с параметрами а и σ случайных величин,
причем σ известно, а величину а оцениваем по выборке:
                                                            1 n
                                                     a ≈ X = ∑ Xk .
                                                            n k =1

      Оценим точность этого приближенного равенства, т.е. укажем границы
(доверительные пределы), в которых практически достоверно лежит
                                                                    n
неизвестное      число                 а.   Сумма        ζ n = ∑ξ k                   независимых          нормально
                                                                 k =1

распределенных с параметрами а и σ                                      случайных величин ξ1 , ..., ξ n
распределена также нормально с математическим ожиданием                                                            а   и
                                                                                                          1 n
среднеквадратичным                     отклонением          σ n,                  а    величина        X = ∑ Xk
                                                                                                          n k =1

распределена         нормально                   с     математическим                     ожиданием            а       и

среднеквадратичным отклонением σ / n . Поэтому

                          (                  )                                           ⎛ε n ⎞
                                                           ε n /σ
                                   1
                                                               ∫e                dx = 2Φ⎜⎜    ⎟ −1
                                                                        2
                      P X −α < ε =                                −x        /2
                                                                                              ⎟
                                   2π                     −ε n / σ                       ⎝ σ ⎠
                     x
                1
где Φ ( x ) =        ∫e
                              2
                        −t        /2
                                       dt – стандартная нормальная функция распределения.
                2π   −∞

      Зададим        коэффициент                     доверия      ℜ              таким,       чтобы    событие         с
вероятностью ℜ можно было считать практически достоверным, и пусть tℜ

– корень уравнения 2Φ(t ℜ ) − 1 = ℜ , который можно найти по таблицам
                                                                                                           x
                                                                                                      1
                                                                                                           ∫ e dt .
                                                                                                               2
                                                                                                              −t / 2
нормальной функции распределения или функции Лапласа
                                                                                                      2π   0



                                                         101