Обработка экспериментальных данных. Роганов В.Р - 103 стр.

генеральной совокупности. Для построения доверительного интервала
воспользуемся следующей леммой.
     Лемма. В выборке X1 , X 2 , ..., X n                      из нормально распределенной

                                               1 n
генеральной совокупности выборочное среднее X = ∑ X k и выборочная
                                               n k =1


дисперсия S =
           2    1 n
                   [
                  ∑ Xk − X
                n k =1
                             ]
                             2
                                 взаимно независимы. Величина Х распределена

                                                 2   2
нормально с параметрами а и σ / n , а величина nS / σ имеет

распределение χ n−1 с (n − 1) степенями свободы.
                2


     Рассмотрим две величины Z = n (X − α )/ σ и V = nS 2 / σ 2 , которые
согласно лемме независимы, причем                       Z       распределена нормально с

параметрами 0 и 1, а V распределена по закону χ n−1 с (n − 1) степенями
                                                2



свободы. В этом случае величина ζ = Z / V                (         )   n −1 =
                                                                                X −α
                                                                                  S
                                                                                     n −1   имеет

распределение Стьюдента с (n − 1) степенями свободы. Зададим коэффициент
доверия ℜ и предположим, что tℜ – корень уравнения
                                      t

                                     ∫ S (x )dx = ℜ ,
                                     −t
                                          n −1



     где S n−1 (x ) – плотность распределения вероятностей закона Стьюдента

с (n − 1) степенями свободы. Для значения tℜ , которое находится из таблиц,

имеем
                                                 tℜ

                             P (ζ < t ℜ ) =       ∫ S (x )dx = ℜ
                                                        n −1
                                                 −t ℜ

   Таким образом, с коэффициентом доверия ℜ выполняется неравенство
              X −a
 ζ < tℜ или        n − 1 < tℜ . Преобразуя последнее неравенство, получаем
               S



                                          103