Обработка экспериментальных данных. Роганов В.Р - 108 стр.

ϕ ( X ,α1 ,α 2 , ..., α k ) ,                 задающей            зависимость            Y = ϕ ( X ,α1 ,α 2 , ..., α k ) ,
определены наилучшим образом в смысле метода наименьших квадратов,
если сумма квадратов отклонений экспериментальных точек yi от ординат

сглаживающей кривой ϕ ( xi ,α1 ,α 2 , ..., α k ) минимальна, т.е. минимальна
величина
                                                          n
                                                δ = ∑ [ yi − ϕ (xi ,α1 ,α 2 , ...,α k )]2
                                                  2

                                                         i =1


        Для       нахождения                    точки           минимума            величины       δ2      в   обычных
аналитических условиях нужно приравнять нулю ее частные производные по
α 1 , α 2 , ..., α k :
                  n
                                                                    ∂ϕ ( xi ,α1 ,α 2 , ...,α k )
                ∑ [y
                 i =1
                            i   − ϕ ( xi ,α1 ,α 2 , ...,α k )] =
                                                                              ∂α j
                                                                                                 = 0, 1 ≤ j ≥ k .

        Таким образом, имеем систему k уравнений с k неизвестными, из
которой определяем искомые значения α 1 , α 2 , ..., α k . Заметим, что система
содержит случайные величины                                      y1 , y2 , ..., yn , поэтому и ее решение

α *1 , α *2 , ..., α *k также случайно. Величины α *1 , α *2 , ..., α *k являются оценками
неизвестных параметров                                α 1 , α 2 , ..., α k        по результатам наблюдений.
Рассмотренная задача отличается от задачи оценки неизвестных параметров
распределения, изученной выше, так как величины y1 , y2 , ..., yn хотя и
предполагаются независимыми, но имеют, вообще говоря, различные
распределения.
        Рассмотрим оценку по методу наименьших квадратов параметров
линейной функции Y = kX + b . Пусть из опыта известна совокупность
                                                                                                     n

значений                ( xi ; y i ) .          Рассмотрим              величину           δ = ∑ ( yi − kxi − b )2 .
                                                                                               2

                                                                                                    i =1

Продифференцировав, получим систему:
                                          n                                   n

                                         ∑ ( yi − kxi − b) xi = 0, ∑ ( yi − kxi − b) = 0
                                         i =1                                i =1


                                                                  108