Обработка экспериментальных данных. Роганов В.Р - 115 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

115
предельном распределении величины
χ
2
дает теорема Пирсона, которая
приводится без доказательства.
Теорема Пирсона. Какова бы ни была функция распределения
(
)
xF
случайной величины
Х, при
n →
∞
распределение величины
χ
2
стремится к
χ
2
- распределению с
()
1−r
степенями свободы, т.е. при
n →∞
()
()
∫
−
→<
x
r
dttkxP
0
1
2
χ
в каждой точке
х, где
(
)
xk
r 1−
– плотность распределения
χ
2
с
(
)
1
−
r
степенями свободы.
С помощью теоремы Пирсона введем критерий для проверки гипотезы.
Зададим число
ε
> 0
такое, что событие с вероятностью
ε
(
ε
– уровень
значимости) можно считать практически невозможным. По таблице для
распределения
χ
2
с
()
1−r
степенями свободы найдем такое число
χ
ε
2
(предел значимости), что
()
∫
∞
−
=
2
1
ε
χ
ε
dxxk
r
.
Предположим, что
n достаточно велико, тогда по теореме Пирсона
вероятность
(
)
22
ε
χχ
>ℜ
приблизительно составляет
ε
, т.е. событие
χχ
ε
22
>
можно считать практически невозможным. Таким образом, если гипотеза
верна, т.е.
() ()
xFxF =
ε
, то значения
χ
2
, превышающие предел значимости
χ
ε
2
, практически невозможны. Если для данной выборки окажется, что
χχ
ε
22
>
, то гипотезу считают опровергнутой опытными данными; если же
χχ
ε
22
≤
, то опытные данные можно считать совместимыми с принятой
гипотезой, однако одного этого еще недостаточно для установления
истинности гипотезы. 
                                   2
предельном распределении величины χ дает теорема Пирсона, которая
приводится без доказательства.
      Теорема Пирсона. Какова бы ни была функция распределения F ( x )
                                                        2
случайной величины Х, при n → ∞ распределение величины χ стремится к

χ 2 - распределению с (r − 1) степенями свободы, т.е. при n → ∞
                                                         x
                                  (                  )
                                 P χ < x → ∫ k r −1 (t )dt
                                          2

                                                         0


в каждой точке х, где k r −1 ( x ) – плотность распределения χ 2 с        (r − 1)
степенями свободы.
      С помощью теоремы Пирсона введем критерий для проверки гипотезы.
Зададим число ε > 0 такое, что событие с вероятностью ε ( ε – уровень
значимости) можно считать практически невозможным. По таблице для
распределения χ 2 с    (r − 1)   степенями свободы найдем такое число χ ε2

(предел значимости), что
                                   ∞

                                   ∫ k (x )dx = ε .
                                      2
                                              r −1
                                   χε

      Предположим, что n достаточно велико, тогда по теореме Пирсона
                (         )
вероятность ℜ χ > χ ε приблизительно составляет ε , т.е. событие χ 2 > χ ε2
               2    2



можно считать практически невозможным. Таким образом, если гипотеза
верна, т.е. Fε ( x ) = F ( x ) , то значения χ 2 , превышающие предел значимости

χ ε2 , практически невозможны. Если для данной выборки окажется, что

χ 2 > χ ε2 , то гипотезу считают опровергнутой опытными данными; если же

χ 2 ≤ χ ε2 , то опытные данные можно считать совместимыми с принятой
гипотезой, однако одного этого еще недостаточно для установления
истинности гипотезы.

                                               115

Страницы