Обработка экспериментальных данных. Роганов В.Р - 119 стр.

    Переходя к полярным координатам V1 = R cos Θ , V2 = R sin Θ , находим
S = R 2 , X 1 = cos Θ − 2 ln S , X 2 = sin Θ − 2 ln S .

    Используя             еще          одни        полярные              координаты                                   обозначенные          как
 X 1 = R' cos Θ' , X 2 = R' sin Θ' видим, что Θ = Θ' и R ' = − 2 ln S .

    Пары чисел R и Θ , также как и пары чисел R' и Θ' , независимы внутри
единичного круга.

    Кроме того, Θ' равномерно распределена между 0 и 2π , а вероятность
того, что R' < r , равна вероятности события − 2 ln S ≤ r 2 , т.е. вероятности
                      2                                                      2
события S ≥ e − r         /2
                               . Последняя равна 1 − e − r / 2 , так как S = R 2 равномерно
распределена между нулем и единицей.

    Вероятность того, что                     R'       лежит между                               r и r + dr                       поэтому равна
                                   2                                2
производной от 1 − e − r / 2 , а именно re − r / 2 dr .

    Подобным же образом вероятность попадания Θ' в интервал между Θ и
Θ + dΘ есть (1 / 2π )dΘ .

    Тогда вероятность того, что X 1 ≤ x1 , а X 2 ≤ x 2 , равна



                                                        1 −r 2 / 2            1
                               ∫                                                                     ∫e
                                                                                                          −( x 2 + y 2 ) / 2
                                                          e        r dr dΘ =                                                   dx dy =
              {( r , Θ )|r cos Θ ≤ x1 , r sin Θ ≤ x2 }
                                                       2π                    2π       {( x , y )| x ≤ x1 , y ≤ x2 }




                                          ⎛ 1    x1
                                                                    ⎞⎛ 1         x2
                                                                                                        ⎞
                                       = ⎜⎜      ∫e
                                                      − x2 / 2
                                                                 dx ⎟ ⎜          ∫e                  dy ⎟ .
                                                                                            2
                                                                                    −y          /2
                                                                    ⎟ ⎜ 2π                              ⎟
                                          ⎝ 2π   −∞                 ⎠⎝           −∞                     ⎠




Это доказывает, что X 1 и X 2 независимы и нормально распределены.

    Рассмотренный случай относится к нормальному распределению с
нулевым средним значением и стандартным отклонением, равным единице.



                                                                  119