Обработка экспериментальных данных. Роганов В.Р - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

12
Рассмотрим свойства классической вероятности [9].
1)
Для любого
(
)
10:
≤
≤
Ξ∈ APA
(поскольку
0
≤
≤
m
n
).
2)
Вероятность достоверного события
А
=
Ω
равна единице (так как
для
А =Ω
m=n). Вероятность невозможного события
∅
равна нулю (так как
для
А =Ω
m=0).
3)
Для несовместных событий
А
1
и
А
2
(
)
(
)
(
)
2121
APAPAAP
+
=
+
Для доказательства этого равенства достаточно заметить, что если
m
1
и
m
2
— числа элементарных событий, благоприятствующих соответственно
событиям
А
1
и
А
2
, то в силу несовместности
А
1
и
А
2
(
)
∅=
I
21
AA
сумма
mm
12
+
является числом элементарных событий, благоприятствующих
АА
12
+
. Поэтому
() () ()
21
2121
21
APAP
n
m
n
m
n
mm
AAP +=+=
=+
4)
Вероятность события
А
, противоположного А, равна
(
)
(
)
APAP −=1
Доказательство следует из того, что
АА+=Ω
, и, следовательно,
согласно свойствам 2, 3
(
)
(
)
(
)
1=+=+ APAPAAP
.
5)
Если событие А влечет В,
АВ
⊂
, то
()
(
)
(
)
APBPABP
−
=
\
и
(
)()
APBP ≥
Для доказательства заметим, что
ВАВА=+I
, причем события А и
ВАI
несовместны, так как являются несовместными события А и
А
и
ВА АI ⊂
. Поэтому согласно свойству 3 из § 4
() ()
(
)
I
ABPAPBP +=
.
Отсюда следует, что
()
(
)
APBP ≥
, так как согласно свойству 1
(
)
0≥
I
ABP
, а
также
(
)
()
(
)
(
)
APBPABPABP −== \
I
.
6)
Для любых событий
А
1
и
А
2
имеет место равенство 
        Рассмотрим свойства классической вероятности [9].
      1) Для любого A ∈ Ξ : 0 ≤ P ( A) ≤ 1 (поскольку 0 ≤ m ≤ n ).
      2) Вероятность достоверного события А = Ω равна единице (так как
для А = Ω m=n). Вероятность невозможного события ∅ равна нулю (так как
для А = Ω m=0).
      3) Для несовместных событий А1 и А 2
                                 P ( A1 + A2 ) = P ( A1 ) + P ( A2 )

      Для доказательства этого равенства достаточно заметить, что если m1
и m2 — числа элементарных событий, благоприятствующих соответственно

событиям А1 и А 2 , то в силу несовместности А1 и А 2 (A1 I A2 ) = ∅ сумма

m1 + m2 является числом элементарных событий, благоприятствующих
А1 + А 2 . Поэтому
                                       m1 + m 2 m1 m 2
                     P ( A1 + A2 ) =           =   +   = P ( A1 ) + P ( A2 )
                                          n      n   n

      4) Вероятность события А , противоположного А, равна

                                            ()
                                           P A = 1 − P ( A)

      Доказательство следует из того, что А + А = Ω , и, следовательно,
                             (         )
согласно свойствам 2, 3 P A + A = P( A) + P A = 1 .  ()
      5) Если событие А влечет В, А ⊂ В , то
                         P ( B \ A) = P ( B ) − P ( A) и P ( B ) ≥ P ( A )

      Для доказательства заметим, что В = А + В I А , причем события А и

В I А несовместны, так как являются несовместными события А и А                                 и

В I А ⊂ А . Поэтому согласно свойству 3 из § 4                                          (       )
                                                                       P ( B ) = P ( A) + P BI A .

Отсюда следует, что P (B ) ≥ P ( A ) , так как согласно свойству 1 P BI A ≥ 0 , а (         )
        (      )
также P BI A = P(B \ A) = P(B ) − P( A) .

      6) Для любых событий А1 и А 2 имеет место равенство


                                              12

Страницы