Обработка экспериментальных данных. Роганов В.Р - 129 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

129
рассмотренные выше типовые законы распределения не обладают
необходимым разнообразием форм, поэтому их применение не дает
необходимой общности представления случайных величин, которые
встречаются при исследовании систем.
§ 3. Аппроксимация на основе специальных рядов
Типовые ряды, известные из математического анализа (ряды Тейлора,
Фурье), не подходят для описания функций распределений, так как не
обладают свойствами, присущими этому виду функций. Для подобного
описания предложены специальные функции, например, основанные на
полиномах Чебышева – Эрмита. К числу таких функций относится
ряд Грама
– Шарлье
(8.1)
где Ф(
u) – функция нормального распределения центрированной и
нормированной случайной величины
u=(х –
μ
1
)/μ
2
0,5
, Ф
(k)
(u) – k-я
производная от функции нормального распределения.
Вычисление Ф(
u) не требует численного интегрирования, так как
имеются ее приближения на основе полиномов, а производные представимы
элементарными функциями:
Ф
(3)
(u)=(u
2
–1)f
н
(u),
Ф
(4)
(u)=(– u
3
+ 3u)f
н
(u), (8.2)
Ф
(6)
(u)=(– u
5
+10u
3
–15u)f
н
(u),
f
н
(u)= (2π )
– 0,5
exp(– u
2
/2).
Ряд Грама – Шарлье целесообразно использовать для описания
распределений, близких к нормальному. В других случаях начинают
проявляться серьезные недостатки: ряд может вести себя нерегулярно
(увеличение количества членов ряда иногда снижает точность
аппроксимации); ошибки аппроксимации возрастают с удалением от центра
распределения; сумма конечного числа членов ряда при большой асимметрии
распределения приводит к
отрицательным значениям функций, особенно на 
рассмотренные     выше     типовые        законы      распределения         не   обладают
необходимым разнообразием форм, поэтому их применение не дает
необходимой     общности     представления            случайных     величин,      которые
встречаются при исследовании систем.


           § 3. Аппроксимация на основе специальных рядов

      Типовые ряды, известные из математического анализа (ряды Тейлора,
Фурье), не подходят для описания функций распределений, так как не
обладают свойствами, присущими этому виду функций. Для подобного
описания предложены специальные функции, например, основанные на
полиномах Чебышева – Эрмита. К числу таких функций относится ряд Грама
– Шарлье


                                                                                     (8.1)

где Ф(u) – функция нормального распределения центрированной и
нормированной случайной величины u=(х – μ                    1)/μ
                                                                      0,5
                                                                     2 ,    Ф(k)(u) – k-я
производная от функции нормального распределения.
      Вычисление Ф(u) не требует численного интегрирования, так как
имеются ее приближения на основе полиномов, а производные представимы
элементарными функциями:
                                 Ф(3)(u)=(u2 –1)fн(u),
                                 Ф(4)(u)=(– u3 + 3u)fн(u),                           (8.2)
                           (6)          5         3
                         Ф (u)=(– u +10u –15u)fн(u),
                           fн(u)= (2π ) – 0,5exp(– u2/2).
      Ряд Грама – Шарлье целесообразно использовать для описания
распределений, близких к нормальному. В других случаях начинают
проявляться серьезные недостатки: ряд может вести себя нерегулярно
(увеличение     количества       членов       ряда     иногда       снижает      точность
аппроксимации); ошибки аппроксимации возрастают с удалением от центра
распределения; сумма конечного числа членов ряда при большой асимметрии
распределения приводит к отрицательным значениям функций, особенно на
                                            129

Страницы