Обработка экспериментальных данных. Роганов В.Р - 133 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

133
Исходное уравнение преобразуем к виду
()()
()()
()()()()
.
11
ln
2212
2
1212
1
212
1
ctccB
c
ctccB
c
ctctB
t
tf
dt
d
−+
+
++
=
−+
=
Обозначим
γ
= c
1
/(B
2
(c
1
+ c
2
)) и
η
= c
2
/(B
2
(c
1
+ c
2
)). Тогда можно записать
(
)()
(
)
(
)
[
]
ηγ
tcctdtfd −++=
211
lnlnln .
Решение дифференциального уравнения с точностью до некоторого
коэффициента
k
1
можно представить в виде f
1
(t) = k
1
(c
1
+ t)
γ
(c
2
- t)
η
. Размах
данного распределения сосредоточен на интервале (–
c
1
, c
2
). Проведем замену
переменной
t = (c
1
+ c
2
)y -c
1
, учитывая, что dt = (c
1
+c
2
)dy, включим
постоянный сомножитель (
c
1
+c
2
)
γ+η+1
в состав коэффициента k
1
. В итоге
получим
f
1
(y)=k
1
y
γ
(1–y)
η
, где y изменяется в пределах от 0 до 1. Интегрируя
в этих пределах функцию
f
1
(t), можно найти значение k
1
из условия
()
∫
=−
1
0
1
11 dyyyk
η
γ
. Интеграл в данном выражении по определению
соответствует бета-функции
B(
γ
+1,
η
+1), которая определяется через гамма-
функцию
B(
γ
+1,
η
+1) = Г(
γ
+1)Г(
η
+1)/Г(
γ
+
η
+2). Итак, k
1
= 1/B(
γ
+1,
η
+1).
Окончательно плотность распределения
f
1
(y) = (1/B(
γ
+1,
η
+1))y
γ
(1 - y)
η
, (8.4)
где 0
≤y≤1.
Переменная
у определяется через исходный (не центрированный и
несмещенный) аргумент
x в соответствии с ранее введенными
подстановками: y = (c
1
+ x - μ
1
- a)/(c
1
+ c
2
).
Функция плотности распределения первого типа соответствует бета-
распределению, рис. 8.5. Функция распределения
()
(
)
()()
()
∫
−
+Γ+Γ
++Γ
=
y
dyyyyF
0
1
1
11
2
η
γ
ηγ
ηγ
(8.5)
При наличии действительных корней одного знака получается
распределение Пирсона шестого типа. Пусть корни –
c
1
и –c
2
меньше нуля, т.
е.
B
2
, c
1
и c
2
положительны (с
1
<с
2
), тогда можно записать
()()
()
()()()
2212
2
1212
1
6
11
ln
ctccB
c
ctccB
c
tf
dt
d
++−
+
++−
−
=
, 
         Исходное уравнение преобразуем к виду
               d                          t                 c1          1           c2           1
                  (ln f1 (t )) =                      =                       +                        .
               dt                B2 (t + c1 )(t − c2 ) B2 (c1 + c2 ) (t + c1 ) B2 (c1 + c2 ) (t − c2 )

         Обозначим γ= c1/(B2(c1+ c2)) и η= c2/(B2(c1+ c2)). Тогда можно записать
                                                        [
                                   d (ln f1 (t )) = d ln (t + c1 ) + ln (c2 − t ) .
                                                                  γ            η
                                                                                   ]
         Решение дифференциального уравнения с точностью до некоторого
коэффициента k1 можно представить в виде f1(t) = k1(c1 + t)γ(c2 - t)η. Размах
данного распределения сосредоточен на интервале (–c1, c2). Проведем замену
переменной t = (c1+ c2)y -c1 , учитывая, что dt = (c1+c2)dy, включим
постоянный сомножитель (c1+c2)γ+η+1 в состав коэффициента k1. В итоге
получим f1(y)=k1yγ (1–y)η , где y изменяется в пределах от 0 до 1. Интегрируя
в этих пределах функцию f1(t), можно найти значение k1 из условия
1

∫ k y (1 − y ) dy = 1 .
     γ        η
    1                      Интеграл             в       данном        выражении             по      определению
0


соответствует бета-функции B(γ+1, η+1), которая определяется через гамма-
функцию B(γ+1, η+1) = Г(γ+1)Г(η+1)/Г(γ+η+2). Итак, k1= 1/B(γ+1, η+1).
Окончательно плотность распределения
                    f1(y) = (1/B(γ+1, η+1))yγ(1 - y)η,                                                     (8.4)

где 0≤y≤1.
         Переменная у определяется через исходный (не центрированный и
несмещенный)              аргумент          x       в       соответствии               с   ранее     введенными
подстановками: y = (c1 + x - μ1 - a)/(c1 + c2).
         Функция плотности распределения первого типа соответствует бета-
распределению, рис. 8.5. Функция распределения
                                  Γ(γ + η + 2 )
                                                  y

                      F1 ( y ) =                  ∫ y γ (1 − y ) dy
                                                                η
                                                                                                           (8.5)
                                 Γ(γ + 1)Γ(η + 1) 0
         При наличии действительных корней одного знака получается
распределение Пирсона шестого типа. Пусть корни –c1 и –c2 меньше нуля, т.
е. B2, c1 и c2 положительны (с1<с2), тогда можно записать
                      d
                         (ln f 6 (t )) = − c1              1
                                                                 +
                                                                        c2            1
                                                                                            ,
                      dt                B2 (− c1 + c2 ) (t + c1 ) B2 (− c1 + c2 ) (t + c2 )



                                                            133

Страницы