Обработка экспериментальных данных. Роганов В.Р - 140 стр.

область значений функции g(x) лежит в диапазоне от –∞ до ∞ . Указанным
условиям    отвечает       система           функций,             предложенная           Джонсоном.
Достоинство данного подхода состоит в том, что значения эмпирической
функции распределения случайной величины Х вычисляются как значения
функции нормального распределения. Преобразование Джонсона в общем
случае имеет вид
               x = γ + ητ(z, e, λ) ; η>0, –∞< γ < ∞, λ>0, –∞ < e <∞, (8.12)
где γ , η , ε , λ – параметры распределения; u – центрированная и
нормированная случайная величина, распределенная по нормальному закону;
τ – некоторая функция; х – случайная величина с произвольной
унимодальной плотностью распределения.
      В качестве τ предложено использовать три вида функций:
                                                         ⎛ z −ε ⎞
                                 1)τ 1 ( z , ε , λ ) = ln⎜       ⎟, z ≥ ε ,
                                                         ⎝ λ ⎠
                                                   ⎛ z −ε ⎞
                         2)τ 2 ( z , ε , λ ) = ln⎜             ⎟, ε ≤ z ≤ ε + λ ,               (8.13)
                                                   ⎝ λ +ε − z ⎠
                                                        ⎛ z −ε ⎞
                         3)τ 3 ( z , ε , λ ) = arcsh⎜          ⎟, − ∞ < z < ∞.
                                                        ⎝ λ ⎠
                                                                      η
      Для семейства функций первого вида du =                               dx , тогда
                                                                     x −ε

                                     η            ⎧⎪ 1 ⎡      ⎛ x − ε ⎞⎤ ⎫⎪
                                                                        2

                    f1 ( x ) =                 exp⎨− ⎢γ + η ln⎜       ⎟⎥ ⎬                      (8.14)
                                  2π ( x − ε )     ⎪⎩ 2 ⎣     ⎝ λ ⎠⎦ ⎪⎭

      Эта    функция             соответствует             логарифмически                нормальному
распределению и называется семейством распределений SL Джонсона.
Логарифмически     нормальное            распределение                не      обладает    общностью
исходного семейства, так как оно фактически зависит от трех, а не от
                                                                                     ⎛ z −ε ⎞
четырех параметров. Действительно, выражение γ + η ln⎜                                      ⎟   можно
                                                                                     ⎝ λ ⎠
записать в виде γ – η lnλ, и величину γ –ηln λ следует рассматривать как
единый параметр.
      Аналогично можно найти плотность распределения для второго и
третьего семейств распределений Джонсона:

                                                140