Обработка экспериментальных данных. Роганов В.Р - 29 стр.

событий B1 ,..., Bn , в которых k из событий B1 ,..., Bn совпадают с А, а (n – k)

— с противоположным событием                                А . Очевидно, что число таких
последовательностей равно числу сочетаний из n по k:
                                                           n!
                                              С nk =               0!= 1
                                                       k!(n − k )!       .
      В     силу   независимости               испытаний               вероятность                 каждой   такой
последовательности по правилу умножения для независимых событий равна

p k q n− k , где q=1—p. Итак, в силу несовместности всех возможных

                                                                   Pn (k )
последовательностей искомая вероятность                                      равна сумме вероятностей
всех последовательностей, состоящих из k событий А и (n – k) событий А ,
                                   k n− k
т.е. сумме C kn слагаемых, равных p q     :
                                                          n!
                         Pn (k ) = С nk p k q n−k =               p k q n−k ( k = 0, 1, ..., n )
                                                      k!(n − k )!

      Полученную формулу называют формулой Бернулли. Соответствие
между числами k=0,1,…,n и вероятностями pn (k ) , определяемое формулой
Бернулли, называется биномиальным распределением.
          Возьмем теперь вспомогательную переменную u и заметим, что
величина P(ku k ) = Сnk p k q n−k u k представляет собой общий член разложения

функции (q + pu ) по формуле бинома Ньютона [8].
                 n



          Таким образом, вероятность Pn (k ) представляет собой коэффициент

при u k в разложении функции
                                             ϕ n (u ) = (q + pu )n
по степеням u.
      Функция       ϕ n (u )        называется                 производящей                   функцией       для

вероятностей Pn (k ) .
      Элементарными событиями в данном случае служат все конечные
последовательности {B1 , ..., Bn } , где каждое Bm представляет собой событие

                                                       29