Обработка экспериментальных данных. Роганов В.Р - 32 стр.

     В этом случае вероятности Pn (k ) могут быть приближенно вычислены
по так называемой формуле Пуассона. Эта формула получается как
предельная для биномиального распределения, когда число испытаний
стремится к бесконечности, а вероятность успеха стремится к нулю, однако в
пределах одной последовательности независимых испытаний ни то, ни
другое по определению невозможно.
     Пусть    произведена                    некоторая           серия    независимых               испытаний,
состоящая из конечного числа испытаний, затем новая серия, затем еще
новая и т.д. Будем иметь последовательность серий испытаний. Пусть при
каждом испытании каждой серии может наступить или не наступить
некоторое событие А, т.е. имеем всего два исхода, и пусть вероятность
наступления А при отдельном испытании остается постоянной в пределах
каждой серии (как это требуется для последовательности независимых
испытаний), но может меняться от серии к серии. В этих условиях
справедлива
     Теорема Пуассона.                       Пусть дана последовательность {sn } серий
независимых испытаний, состоящих соответственно из 1, 2,…, n,…
испытаний, и пусть вероятность р события А при каждом испытании n-й
серии равна λ / n , где λ — постоянная (не зависящая от n). Тогда вероятность
Pn (k ) того, что число наступлений события А в n-й серии будет равно k, при

                                                          λk
n → ∞ и фиксированном k стремится к                              e −λ .
                                                            k!
     Доказательство. Имеем
                                                                                      k            n−k
                                        n!                               n! ⎛ λ ⎞         ⎛ λ⎞
              lim Pn (k ) = lim                 p k (1 − p ) = lim
                                                            n−k
                               n →∞ k!(n − k )!
                                                                                ⎜ ⎟
                                                                n →∞ k!(n − k )! n
                                                                                          ⎜1 − ⎟         =
              n →∞
                                                                                ⎝ ⎠       ⎝ n⎠

                                               λ ⎞ ⎛⎜ n(n − 1)...(n − k + 1) ⎛   λ ⎞ ⎞⎟
                                                  n                                 −k
                                      λk ⎛
                              = lim      ⎜1 − ⎟                            ⋅ ⎜1 − ⎟   =
                               n →∞   k! ⎝ n ⎠ ⎜⎝                 nk         ⎝ n ⎠ ⎟⎠

                         λk    ⎛ λ⎞
                                     n
                                           ⎛ ⎛ 1 ⎞ ⎛ k − 1 ⎞ ⎛ λ ⎞ − k ⎞ λk − λ
                     =      lim⎜1 − ⎟ ⋅ lim⎜ ⎜1 − ⎟ ⋅ ⎜1 −   ⎟ ⋅ ⎜1 − ⎟ ⎟ = e .
                         k! n→∞⎝ n ⎠ n→∞⎜⎝ ⎝ n ⎠ ⎝         n ⎠ ⎝ n ⎠ ⎟⎠ k!

     Распределение вероятностей, определяемое формулой

                                                       32