Обработка экспериментальных данных. Роганов В.Р - 36 стр.

                                              q      p
причем, поскольку при n → ∞ x                   , x    стремятся к нулю равномерно по
                                             np     nq

x, x ∈ [a, b] , оценку 0 — членов можно взять независящей от k.
       Итак, имеем
                                              1         ⎛ 1 ⎞
                                             − x 2 + 0 ⎜⎜   ⎟⎟
                              An ( x ) = e    2         ⎝ n⎠
                                                                 , n→∞.
       Из полученных оценок следует утверждение теоремы.
       Установленная теорема дает оценку величины Pn (k ) при больших n и
при фиксированном k:
                                        1       1                 k − np
                            Pn (k ) ≈
                                                       2
                                                    e−x / 2 , x =
                                        2π      npq                 npq

       Пример. Найти вероятность того, что событие А наступит ровно 70 раз
в 243 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом
испытании равна 0,25.
Решение. По условию                                    . Так как         –
                    n = 243; k =70; p = 0,25; q = 0,75           n = 243
достаточно большое число, воспользуемся локальной теоремой Лапласа:
                                                      1
                                        Pn (k ) =         ϕ (x )
                                                      npq

               1 − x2 / 2     k − np
где ϕ (x ) =      e       ,x=        . Найдем значение х:
               2π               npq

                            k − np   70 − 243 ⋅ 0,25    9 ,25
                       x=          =                  =       = 1,37.
                              npq    243 ⋅ 0,25 ⋅ 0,75 6,75

По таблице находим ϕ (1,37 ) = 0,1561 . Искомая вероятность равна
                            P243 (70 ) = 1 / 6,75 ⋅ 0.1561 = 0,0231
       Однако практически при большом числе испытаний n и не слишком
малой вероятности р нас редко интересует вероятность того, что данное
событие наступит точно k раз. Важно бывает уметь оценить вероятность
того, что число наступлений события лежит в некоторых границах. Такую
оценку можно получить с помощью интегральной предельной теоремы
Муавра-Лапласа.
                                                    36