Обработка экспериментальных данных. Роганов В.Р - 37 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

37
Интегральная предельная теорема Муавра—Лапласа. Пусть k – число
наступлений события А в серии из n независимых экспериментов, р –
вероятность наступления А при каждом испытании, 0<p<1, a и b – любые
фиксированные числа, a<b. Тогда
∫
−
→∞
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
≤
−
≤
b
a
x
n
dxeb
npq
npk
aP
2
2
2
1
lim
π
причем стремление к пределу равномерно относительно а и b,
+∞<<<∞− ba
.
Доказательство этой теоремы получим как совсем простое следствие
рассмотренной ниже центральной предельной теоремы [9].
Практическое применение интегральной предельной теоремы основано
на приближенном равенстве
∫
−
≈
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
≤
−
≤
b
a
x
dxeb
npq
npk
aP
2
2
2
1
π
Оценка соответствующей погрешности показывает, что эта
приближенная формула обеспечивает хорошую точность уже при значениях
10≥npq
и, естественно, тем лучшую точность, чем больше эта величина.
Рассмотрим некоторые типичные задачи, связанные с интегральной
теоремой Муавра—Лапласа.
Заданы число испытаний n и вероятность р при каждом испытании.
Требуется найти вероятность того, что число k будет заключено между
заданными числами
1
k
и
2
k
,
nkk
≤
<
≤
21
0
.
()
∫
−
−
−
≈
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
≤
−
≤
−
=≤≤
npq
npk
npq
npk
x
dxe
npq
npk
npq
npk
npq
npk
PkkkP
2
1
2
2
21
21
2
1
π
Функция
()
∫
−
=Φ
xz
dzez
0
2
2
2
1
π
называется интегралом ошибок, для нее
составлены таблицы, поскольку
(
)
(
)
xx
Φ
−
=
−
Φ
, значения в таблицах
указаны лишь для
0≥x
. 
      Интегральная предельная теорема Муавра—Лапласа. Пусть k – число
наступлений события А в серии из n независимых экспериментов, р –
вероятность наступления А при каждом испытании, 0

Страницы