Обработка экспериментальных данных. Роганов В.Р - 39 стр.

          Стремление к пределу равномерно относительно всех k, для которых
x ∈ [a, b] .

        Доказательство. Имеем
                                                       n!
                             npq Pn (k ) = npq                 p k q n−k .
                                                   k!(n − k )!
        Воспользовавшись формулой Стирлинга,
                                                                 1
                             k ! = 2πkk k e − k eθ k , θ k ≤         ,
                                                                12 k
получим

                                          1 n n neθ n −θ k −θ n −k p k q n−k
                        npq Pn (k ) = npq   ⋅                                =
                                          2π k k (n − k )
                                                         n−k
                                                                 k n−k

          1      ⎛ ⎛ np ⎞ k ⎛ nq ⎞ n− k ⎞ n 2 pq θ −θ −θ     1
        =        ⎜⎜ ⎟ ⎜          ⎟      ⎟        e n k n−k ≡    An (x )Bn (x )C n ( x ) .
          2π     ⎜ ⎝ k ⎠ ⎝ n − k ⎠ ⎟ k (n − k )              2π
                 ⎝                      ⎠
        Найдем пределы выражений An (x ), Bn ( x ), C n (x ) при n → ∞ .
        Пусть [a,b] – произвольный конечный отрезок; будем рассматривать
                                                     k − np
такие k, для которых x ∈ [a, b ] . Так как x =              , то
                                                       npq

        k = np + x npq , n − k = n(1 − p ) − x npq = np − x npq , a ≤ x ≤ b

        Рассмотрим вначале Сn ( x ) = e , θ = θ n − θ k − θ n−k .
                                       θ



                                  1 ⎛⎜ 1       1            1   ⎞
                                                                ⎟=
          θ ≤ θ n + θ k + θ n−k ≤        +           +
                                 12 ⎜⎝ n np + x npq np − x npq ⎟⎠
                              ⎛                          ⎞
                              ⎜                          ⎟
                            1⎜           1         1     ⎟.
                         =      1+            +
                           12 ⎜            pq         pq ⎟
                              ⎜    p+x          q−x      ⎟
                              ⎝            n           n ⎠

        Отсюда в силу признака Вейерштрасса следует, что θ → ∞ при
n → ∞ равномерно по x ∈ [a, b] . Таким образом,                          С n ( x ) → 1 при   n→∞
равномерно относительно x, x ∈ [a, b ] . Далее рассмотрим Bn (x ) :


                                              39