Обработка экспериментальных данных. Роганов В.Р - 40 стр.

                            n 2 pq                1
             Bn ( x ) =               =                        → 1, n → ∞
                           k (n − k )   ⎛      q ⎞⎛        p ⎞
                                        ⎜1 − x    ⎟⎜1 − x    ⎟
                                        ⎜      np ⎟⎜      nq ⎟
                                        ⎝         ⎠⎝         ⎠
равномерно относительно x, x ∈ [a, b ] , на основании признака Вейерштрасса.
      Рассмотрим, наконец, An (x ) . Пользуясь формулой

                                                     z2
                                                                 ( )
                                    ln (1 + z ) = z − + 0 z 3 , z < 1,
                                                     2
получим
                                               ⎛ k ⎞              ⎛n−k⎞
                          ln An ( x ) = − k ln⎜⎜ ⎟⎟ − (n − k ) ln⎜⎜    ⎟⎟ =
                                               ⎝ np ⎠             ⎝ np ⎠

              (              ⎛
           = − np + x npq ln⎜⎜1 − x )
                                    q ⎞
                                    np
                                                        ⎛
                                                             (
                                       ⎟ − nq − x npq ln⎜1 − x
                                       ⎟                ⎜
                                                                p ⎞
                                                               nq
                                                                  ⎟=
                                                                  ⎟              )
                             ⎝         ⎠                ⎝         ⎠

                               (         ⎛
                                         ⎜
                          = − np + x npq ⎜ x
                                             q
                                               −   )
                                                 x2q
                                                     + 0 n −3 / 2            (        )⎞⎟⎟
                                         ⎝ np 2np                                      ⎠

                           (       ⎛
                                   ⎜
                      + nq − x npq ⎜ − x    )
                                          p x2 p
                                           −
                                         nq 2nq
                                                 + 0 n −3 / 2            (           )⎞⎟⎟ =
                                   ⎝                                                  ⎠

            ⎛
        = −⎜⎜ x npq + x q −
                       2    x2q
                             2
                                +0 n −1 / 2
                                             (          )
                                            − x npq + x p −
                                                       2    x2 p
                                                             2
                                                                 + 0 n −1/ 2                  (   )⎞⎟⎟ =
            ⎝                                                                                      ⎠

                                           = − x 2 + 0(n −1 / 2 ) ,
                                              1
                                              2

                                                   q      p
причем, поскольку при n → ∞ x                        , x    стремятся к нулю равномерно по
                                                  np     nq

x, x ∈ [a, b] , оценку 0 — членов можно взять независящей от k.
      Итак, имеем
                                                   1         ⎛ 1 ⎞
                                                  − x 2 + 0 ⎜⎜   ⎟⎟
                                   An ( x ) = e    2         ⎝ n⎠
                                                                      , n→∞.
      Из полученных оценок следует утверждение теоремы.
      Установленная теорема дает оценку величины Pn (k ) при больших n и
при фиксированном k:

                                                        40