Обработка экспериментальных данных. Роганов В.Р - 42 стр.

      Доказательство этой теоремы получим как совсем простое следствие
рассмотренной ниже центральной предельной теоремы [9].
      Практическое применение интегральной предельной теоремы основано
на приближенном равенстве
                          ⎛     k − np    ⎞   1
                                                         b
                                                             −
                                                                 x2
                         P⎜ a ≤        ≤ b⎟ ≈        ∫e          2
                                                                      dx
                          ⎜       npq     ⎟   2π
                          ⎝               ⎠              a


      Оценка     соответствующей         погрешности                  показывает,                       что   эта
приближенная формула обеспечивает хорошую точность уже при значениях
npq ≥ 10 и, естественно, тем лучшую точность, чем больше эта величина.

      Рассмотрим некоторые типичные задачи, связанные с интегральной
теоремой Муавра—Лапласа.
      Заданы число испытаний n и вероятность р при каждом испытании.
Требуется найти вероятность того, что число k будет заключено между

заданными числами k1 и k 2 , 0 ≤ k1 < k 2 ≤ n .
                                                                                k 2 − np

                             ⎛ k − np k − np k2 − np ⎞                     1
                                                                                  npq
                                                                                               −
                                                                                                   x2
         P(k1 ≤ k ≤ k2 ) = P⎜⎜ 1     ≤      ≤        ⎟≈
                                                                                   ∫       e       2
                                                                                                        dx
                             ⎝ npq      npq     npq ⎟⎠                     2π   k1 − np
                                                                                  npq

                              x   z2
                          1      −
      Функция Φ(z ) =        ∫ e   2
                                     dz называется интегралом ошибок, для нее
                          2π 0

составлены таблицы, поскольку             Φ (− x ) = −Φ ( x ) , значения в таблицах

указаны лишь для x ≥ 0 .
      Пусть заданы числа р, α и β. Требуется определить, какое наименьшее
число n испытаний надо произвести для того, чтобы с вероятностью, не
меньшей β, частота k/n появлений отклонялась от вероятности р не больше
чем на α. Таким образом, надо найти n из условия
                                    ⎛1         ⎞
                                  P⎜⎜ − p ≤ α ⎟⎟ ≥ β .
                                    ⎝n         ⎠
      Поскольку


                                          42