Обработка экспериментальных данных. Роганов В.Р - 44 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

44
Глава 2
Случайные величины и функции распределения
§ 1. Случайные величины и функции распределения
Изучая схему независимых экспериментов, мы имели дело с типичным
примером случайной величины, когда рассматривали число успехов в серии
из n испытаний. Примерами случайных величин является: число вызовов в
единицу времени на телефонной станции, число молекул газа,
продиффундировавших из одного объема газа в другой.
Определение 1. Пусть
(
)
Ρ
Ξ
Ω
,, — вероятностное пространство.
Случайной величиной Х называется однозначная действительная функция
()
ω
XX =
, определенная на Ω, для которой множество элементарных событий
вида
()
[]
xX
<
ω
ω
:
является событием (т.е. принадлежит Ξ) для каждого
действительного числа х.
Определение 2. Функция
(
)
}
∞<<∞−<= xxXPxF ,
, называется
функцией распределения случайной величины Х.
Примеры.
1. Пусть Х – число успехов в серии из n испытаний Бернулли. Тогда
соответствующая функция распределения определена равенством
()
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
>
≤<
≤
=
∑
<
−
nx
nxqpC
x
xF
xk
knkk
n
,1
0,
0,0
2. Если Х распределена по закону Пуассона, то ее функция
распределения F(x) имеет вид
()
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
>
<
=
∑
<
−
.0,
!
,0,0
x
k
e
x
xF
xk
k
λ
λ
Случайная величина Х имеет нормальное, или гауссово, распределение
(
)
2
,
σ
aN
, если ее функция распределения имеет вид 
                                                 Глава 2
                  Случайные величины и функции распределения
                § 1. Случайные величины и функции распределения

      Изучая схему независимых экспериментов, мы имели дело с типичным
примером случайной величины, когда рассматривали число успехов в серии
из n испытаний. Примерами случайных величин является: число вызовов в
единицу       времени    на      телефонной            станции,       число   молекул    газа,
продиффундировавших из одного объема газа в другой.
      Определение 1. Пусть                (Ω, Ξ, Ρ ) — вероятностное пространство.
Случайной величиной Х называется однозначная действительная функция
X = X (ω ) , определенная на Ω, для которой множество элементарных событий

вида [ω : X (ω ) < x ] является событием (т.е. принадлежит Ξ) для каждого
действительного числа х.
      Определение       2.    Функция           F ( x ) = P{X < x}, − ∞ < x < ∞ ,   называется
функцией распределения случайной величины Х.
      Примеры.
      1. Пусть Х – число успехов в серии из n испытаний Бернулли. Тогда
соответствующая функция распределения определена равенством
                                       ⎧ 0,                   x≤0
                                       ⎪⎪
                             F ( x ) = ⎨∑ C nk p k q n−k ,   0< x≤n
                                        ⎪kn

      2. Если Х распределена по закону Пуассона, то ее функция
распределения F(x) имеет вид
                                               ⎧ 0,         x < 0,
                                               ⎪
                                      F (x ) = ⎨ λ e k −λ

                                               ⎪⎩∑
                                                          , x > 0.
                                                 k

Страницы