Обработка экспериментальных данных. Роганов В.Р - 45 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

45
()
()
.
2
1
2
2
2
dzexF
x
az
∫
∞−
−
=
σ
πσ
Рассмотрим основные свойства функции распределения.
Для
12
xx >
{}
{
}
{
}
2112
xXxxXxX
≤
≤
−
<
=
<
Поскольку события в правой части этого равенства несовместны, то
{}
{
}
{
}
2112
xXxPxXPxXP ≤
≤
−
<
=
<
следовательно,
{
}
(
)
(
)
1221
xFxFxXxP
−
=
≤
≤
Так как
{
}
0
21
≥≤≤ xXxP
, то из последнего равенства следует, что F(x)
– неубывающая функция.
Функция F(x) непрерывна слева, т. е. если
{}
n
α
— любая
последовательность положительных чисел, убывающая к нулю, то
(
)
(
)
xFaxF
n
n
=
−
∞→
lim
Правое предельное значение F(x) в точке х равно
{}
xXP
≤
, т. е.
(){ }
xXPxF ≤=+ 0
.
2.
() ()
(
)
(
)
1lim,0lim
∞
∞−
∞→−∞→
xFFxFF
xx
.
3.
Справедливо соотношение (
xx
12
≤
— любые):
{
}
(
)
(
)
1221
0 xFxFxXxP
−
+
=
≤
≤
так как
{}{ }
{
}
2211
xXxXxxX
≤
=
≤≤
−
<
.
В частности, если
xxx
21
=
=
,
P{X = x}= F(x + 0) — F(x).
Из этого равенства следует, что F(x) имеет скачки в точках х, для
которых существует положительная вероятность события {X=x}.
{}
(
)
(
)
00
1221
+
−
+
=
≤
≤ xFxFxXxP
так как
{}
{
}
{
}
2211
xXxXxxX
≤
=
≤
<
−
≤
                                                      x    ( z − a )2
                                             1
                                  F (x ) =            ∫e     2σ 2
                                                                        dz.
                                           σ 2π       −∞

      Рассмотрим основные свойства функции распределения.
Для x2 > x1
                                {X < x2 } = {X < x1 }− {x1 ≤ X ≤ x2 }
      Поскольку события в правой части этого равенства несовместны, то
                             P{X < x2 } = P{X < x1 } − P{x1 ≤ X ≤ x2 }
следовательно,
                                   P{x1 ≤ X ≤ x2 } = F ( x2 ) − F ( x1 )

      Так как P{x1 ≤ X ≤ x2 } ≥ 0 , то из последнего равенства следует, что F(x)
– неубывающая функция.
      Функция        F(x)     непрерывна         слева,           т. е.       если   {α n }   —   любая
последовательность положительных чисел, убывающая к нулю, то
                                     lim F ( x − a n ) = F ( x )
                                     n →∞


      Правое предельное значение F(x) в точке х равно P{X ≤ x}, т. е.
F ( x + 0 ) = P{X ≤ x} .

      2. F (− ∞ ) = xlim
                      → −∞
                           F ( x ) = 0, F (∞ ) = lim F ( x ) = 1 .
                                                 x →∞



              3.     Справедливо соотношение ( x1 ≤ x2 — любые):
                                P{x1 ≤ X ≤ x2 } = F ( x2 + 0 ) − F ( x1 )

так как {X < x1 } − {x1 ≤ X ≤ x2 } = {X ≤ x2 }.
      В частности, если x2 = x1 = x ,
                                    P{X = x}= F(x + 0) — F(x).
       Из этого равенства следует, что F(x) имеет скачки в точках х, для
которых существует положительная вероятность события {X=x}.
                           P{x1 ≤ X ≤ x2 } = F ( x2 + 0 ) − F ( x1 + 0 )
так как
                            {X ≤ x1} − {x1 < X ≤ x2 } = {X ≤ x2 }
                                                 45

Страницы