Обработка экспериментальных данных. Роганов В.Р - 50 стр.

        В   частности,        если           р(х, у)            непрерывна           при           x1 ≤ x ≤ x1 + Δx ,

y1 ≤ y ≤ y1 + Δy , то с помощью последнего равенства и теоремы о среднем для

интеграла, получим
      P(x1 ≤ X ≤ x1 + Δx, y1 ≤ Y ≤ y1 + Δy ) = p(x1 , y1 )ΔxΔy + o(ΔxΔy )

      Вследствие равенства F (∞, ∞ ) = 1 имеем
                                         ∞ ∞

                                         ∫ ∫ p(x, y )dxdy = 1
                                         − ∞− ∞

      Если двумерная случайная величина (X,Y) имеет плотность, то и каждая
ее компонента имеет плотность, причем
                                    ∞                                    ∞
                       p X (x ) =   ∫ p(x, y )dy, p ( y ) = ∫ p(x, y )dx
                                                            Y
                                    −∞                                  −∞

        Пример.      Случайный                    вектор            (X,Y)       называется               равномерно
распределенным в области D, если
                                            ⎧1 / μ (D ), x, y ∈ D,
                               p ( x, y ) = ⎨
                                            ⎩ 0,         x, y ∉ D
      где μ (D ) — площадь области D.
      Рассмотрим теперь понятие плотности условного распределения. Пусть
плотность р(х, у) случайного вектора (Х, Y) непрерывна. Обозначим через В
событие: B = ( y ≤ Y ≤ y + Δy ) ; его вероятность равна
                                                      y + Δy                                   ∞
             P ( B ) = P ( y ≤ Y ≤ y + Δy ) =          ∫ p (z )dz , где
                                                                Y                pY ( z ) =    ∫ p(x, z )dx .
                                                        y                                     −∞


Далее, имеем
                                                                     x y + Δy
                    P( X < x, y ≤ Y ≤ y + Δy ) =                     ∫ ∫ p(t , z )dtdz ,
                                                                     −∞ y

и, следовательно, в силу определения условной вероятности, если P(B) > 0,
                                                                                              x y + Δy


                                       P( X < x, y ≤ Y ≤ y + Δy )
                                                                                              ∫ ∫ p(t , z )dtdz
       FX ( x / B ) ≡ P( X < x / B ) =                            =                           −∞ y

                                                 P(B )                                          y + Δy

                                                                                                   ∫ p (z )dz
                                                                                                   y
                                                                                                         Y



                                                     50