Обработка экспериментальных данных. Роганов В.Р - 52 стр.

                           § 4. Независимость случайных величин
      Определение 8. [9] Случайные величины X 1 , ..., X n                                      называются

независимыми (в совокупности), если для любых                                         x1 , ..., xn    события
( X 1 < x1 ) ..., ( X n < xn ) независимы в совокупности, т.е.
                      (
                    P ( X 1 < x1 )I ...I         ( X n < xn )) = P( X 1 < x1 ) ...P ( X n < xn )
или, что то же самое,
                                    F (x1 , ..., xn ) = FX1 (x1 ), ..., FX n ( xn )

      Для независимых случайных величин Х и Y имеем при любых x1 < x2
и y1 < y2
             P(x1 ≤ X < x2 , y1 ≤ Y < y2 ) = P(x1 ≤ X < x2 )P( y1 ≤ Y < y2 )                               (4)


       Аналогичный результат справедлив, разумеется, и для произвольного
числа X 1 , ..., X n независимых случайных величин.

      Устремим в последнем равенстве x1 , y1 → −∞ , получим
                             P( X < x2 , Y < y2 ) = P( X < x2 )P(Y < y2 )
      Это равенство ввиду произвольности х2 и y2 означает независимость
случайных величин Х и Y. Таким образом, условие (4) необходимо и
достаточно для независимости случайных величин Х и Y.
        Пусть        теперь     Х      и     Y     –        дискретные        случайные              величины,
x1 < x2 < ... < xn < ... — значения, принимаемые Х, и y1 < y2 < ... < yn < ... —

значения Y. Тогда
                  P( xk ≤ X ≤ xk +1 ) = P( X = xk ), P ( y j ≤ Y < y j +1 ) = P (Y = y j )

k, j = 1, 2, ….

      Подставляя эти выражения в (4), получаем, что условие

                    P(X = xk , Y = y j ) = P( X = xk )P(Y = y j ) k , j = 1, 2, ...




                                                       52